Wie testet man, ob ein Punkt auf einer Ebene liegt?
Man setzt den Punkt gleich der Parametergleichung der Ebene und löst das entstehende Gleichungssystem. Zwei Beispiele:
| Testen: Liegt der Punkt | ( 3 | 4 | 2 ) | auf | | E: x= | ( | 1 | ) | +r | ( | 4 | ) | +s | ( | 2 | ) | | 4 | -2 | 0 | | 1 | 1 | -3 |
| ? |
Vektorgleichung:
| ( | 3 | ) | = | ( | 1 | ) | +r | ( | 4 | ) | +s | ( | 2 | ) |
| 4 | 4 | -2 | 0 |
| 2 | 1 | 1 | -3 |
Das liefert das folgende Gleichungssystem:
| 3 | = | 1 | +4r | +2s |
| 4 | = | 4 | -2r | |
| 2 | = | 1 | +r | -3s |
Das Gleichungssystem löst man so:
| -4r | -2s | = | -2 | | 2r | | = | 0 | | -1r | +3s | = | -1 |
| ( Variablen wurden nach links gebracht, Zahlen nach rechts. ) |
| -4r | -2s | = | -2 | | 2r | | = | 0 | | | 3s | = | -1 |
| ( das 0,5-fache der zweiten Zeile wurde zur dritten Zeile addiert )
|
| -4r | -2s | = | -2 | | | -1s | = | -1 | | | 3s | = | -1 |
| ( das 0,5-fache der ersten Zeile wurde zur zweiten Zeile addiert )
|
| r | +0,5s | = | 0,5 | | | -1s | = | -1 | | | 3s | = | -1 |
| ( die erste Zeile wurde durch -4 geteilt ) |
| r | +0,5s | = | 0,5 | | | -1s | = | -1 | | | 0 | = | -4 |
| ( das 3-fache der zweiten Zeile wurde zur dritten Zeile addiert )
|
dritte Zeile:
0s = -4
Nicht möglich, da 0 mal irgendwas immer 0 und nie -4 ist.
Also liegt der Punkt nicht darauf.
Oder ein Beispiel, in dem der Punkt auf der Ebene liegt:
| Testen: Liegt der Punkt | ( 3 | 0 | 1 ) | auf | | E: x= | ( | 2 | ) | +r | ( | 2 | ) | +s | ( | 1 | ) | | 4 | 3 | 7 | | -2 | 1 | -2 |
| ? |
Vektorgleichung:
| ( | 3 | ) | = | ( | 2 | ) | +r | ( | 2 | ) | +s | ( | 1 | ) |
| 0 | 4 | 3 | 7 |
| 1 | -2 | 1 | -2 |
Das liefert das folgende Gleichungssystem:
| 3 | = | 2 | +2r | +s |
| 0 | = | 4 | +3r | +7s |
| 1 | = | -2 | +r | -2s |
So formt man das Gleichungssystem um:
| -2r | -1s | = | -1 | | -3r | -7s | = | 4 | | -1r | +2s | = | -3 |
| ( Variablen wurden nach links gebracht, Zahlen nach rechts. ) |
| -2r | -1s | = | -1 | | -3r | -7s | = | 4 | | | 4,33s | = | -4,33 |
| ( das -0,33-fache der zweiten Zeile wurde zur dritten Zeile addiert )
|
| -2r | -1s | = | -1 | | | -5,5s | = | 5,5 | | | 4,33s | = | -4,33 |
| ( das -1,5-fache der ersten Zeile wurde zur zweiten Zeile addiert )
|
| r | +0,5s | = | 0,5 | | | -5,5s | = | 5,5 | | | 4,33s | = | -4,33 |
| ( die erste Zeile wurde durch -2 geteilt ) |
| r | +0,5s | = | 0,5 | | | -5,5s | = | 5,5 | | | 0 | = | 0 |
| ( das 0,79-fache der zweiten Zeile wurde zur dritten Zeile addiert )
|
| r | +0,5s | = | 0,5 | | | s | = | -1 | | | 0 | = | 0 |
| ( die zweite Zeile wurde durch -5,5 geteilt ) |
| erste Zeile: | |
| Schon berechnete Variablen einsetzen: | |
| Nach r freistellen: | r = 1 |
Werte in Ebene einsetzen:
Also liegt der Punkt (3|0|1) auf der Ebenen.