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Punkt auf Ebene

Du hast nicht alle benötigten Eingabefelder ausgefüllt! Erst alle Werte eintragen, dann auf Berechnen klicken!
Gib hier einen Punkt und eine Ebene ein. Mathepower rechnet nach, ob der Punkt auf der Ebenen liegt.

Für zweidimensionale Vektoren lass einfach die unteren Eingabefelder frei.

Punkt P (||)

Ebene
E:x= +r+s


Wie testet man, ob ein Punkt auf einer Ebene liegt?

Man setzt den Punkt gleich der Parametergleichung der Ebene und löst das entstehende Gleichungssystem. Zwei Beispiele:

Testen: Liegt der Punkt  ( 3 | 4 | 2 )  auf 
E: x=(1)+r(4)+s(2)
4-20
11-3
?

Vektorgleichung:
(3) =(1)+r(4)+s(2)
44-20
211-3

Das liefert das folgende Gleichungssystem:
3  = 1 +4r +2s 
4  = 4 -2r  
2  = 1 +r -3s 

Das Gleichungssystem löst man so:
-4r -2s  = -2 
2r   = 0 
-1r +3s  = -1 
 ( Variablen wurden nach links gebracht, Zahlen nach rechts. )
-4r -2s  = -2 
2r   = 0 
 3s  = -1 
 ( das 0,5-fache der zweiten Zeile wurde zur dritten Zeile addiert )
-4r -2s  = -2 
 -1s  = -1 
 3s  = -1 
 ( das 0,5-fache der ersten Zeile wurde zur zweiten Zeile addiert )
r +0,5s  = 0,5 
 -1s  = -1 
 3s  = -1 
 ( die erste Zeile wurde durch -4 geteilt )
r +0,5s  = 0,5 
 -1s  = -1 
 0   = -4 
 ( das 3-fache der zweiten Zeile wurde zur dritten Zeile addiert )


dritte Zeile:
0s  =  -4
Nicht möglich, da 0 mal irgendwas immer 0 und nie -4 ist.
Also liegt der Punkt nicht darauf.

Oder ein Beispiel, in dem der Punkt auf der Ebene liegt:

Testen: Liegt der Punkt  ( 3 | 0 | 1 )  auf 
E: x=(2)+r(2)+s(1)
437
-21-2
?

Vektorgleichung:
(3) =(2)+r(2)+s(1)
0437
1-21-2

Das liefert das folgende Gleichungssystem:
3  = 2 +2r +s 
0  = 4 +3r +7s 
1  = -2 +r -2s 

So formt man das Gleichungssystem um:
-2r -1s  = -1 
-3r -7s  = 4 
-1r +2s  = -3 
 ( Variablen wurden nach links gebracht, Zahlen nach rechts. )
-2r -1s  = -1 
-3r -7s  = 4 
 4,33s  = -4,33 
 ( das -0,33-fache der zweiten Zeile wurde zur dritten Zeile addiert )
-2r -1s  = -1 
 -5,5s  = 5,5 
 4,33s  = -4,33 
 ( das -1,5-fache der ersten Zeile wurde zur zweiten Zeile addiert )
r +0,5s  = 0,5 
 -5,5s  = 5,5 
 4,33s  = -4,33 
 ( die erste Zeile wurde durch -2 geteilt )
r +0,5s  = 0,5 
 -5,5s  = 5,5 
 0   = 0 
 ( das 0,79-fache der zweiten Zeile wurde zur dritten Zeile addiert )
r +0,5s  = 0,5 
 s  = -1 
 0   = 0 
 ( die zweite Zeile wurde durch -5,5 geteilt )


zweite Zeile:
  s   =  -1

erste Zeile:
r  +0,5s   =  0,5
Schon berechnete Variablen einsetzen:  
r  +0,5⋅(-1)   =  0,5
Nach r freistellen: r = 1

Werte in Ebene einsetzen:
(2)
4
-2
+1
(2)
3
1
+(-1)
(1)
7
-2
=
(3)
0
1

Also liegt der Punkt (3|0|1) auf der Ebenen.