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Punkt auf Ebene

Gib hier einen Punkt und eine Ebene ein. Mathepower rechnet nach, ob der Punkt auf der Ebenen liegt.

P(||)

Ebene

Klicke an, wie die Ebene gegeben ist.
  • Parametergleichung

     E: x =    + r   + s  

  • Koordinatengleichung

  • Normalengleichung

  • durch drei Punkte gegeben

Wie testet man, ob ein Punkt auf einer Ebene liegt?

Man setzt den Punkt gleich der Parametergleichung der Ebene und löst das entstehende Gleichungssystem. Zwei Beispiele:

Testen: Liegt der Punkt  ( 3 | 4 | 2 )  auf 
E: x=(1)+r(4)+s(2)
4-20
11-3
?

Vektorgleichung:
(3) =(1)+r(4)+s(2)
44-20
211-3

Das liefert das folgende Gleichungssystem:
3  = 1 +4r +2s 
4  = 4 -2r  
2  = 1 +r -3s 

Das Gleichungssystem löst man so:
-4r -2s  = -2 
2r   = 0 
-1r +3s  = -1 
 ( Variablen wurden nach links gebracht, Zahlen nach rechts. )
-4r -2s  = -2 
2r   = 0 
 3s  = -1 
 ( das 0,5-fache der zweiten Zeile wurde zur dritten Zeile addiert )
-4r -2s  = -2 
 -1s  = -1 
 3s  = -1 
 ( das 0,5-fache der ersten Zeile wurde zur zweiten Zeile addiert )
r +0,5s  = 0,5 
 -1s  = -1 
 3s  = -1 
 ( die erste Zeile wurde durch -4 geteilt )
r +0,5s  = 0,5 
 -1s  = -1 
 0   = -4 
 ( das 3-fache der zweiten Zeile wurde zur dritten Zeile addiert )


dritte Zeile:
0s  =  -4
Nicht möglich, da 0 mal irgendwas immer 0 und nie -4 ist.
Also liegt der Punkt nicht darauf.

Oder ein Beispiel, in dem der Punkt auf der Ebene liegt:

Testen: Liegt der Punkt  ( 3 | 0 | 1 )  auf 
E: x=(2)+r(2)+s(1)
437
-21-2
?

Vektorgleichung:
(3) =(2)+r(2)+s(1)
0437
1-21-2

Das liefert das folgende Gleichungssystem:
3  = 2 +2r +s 
0  = 4 +3r +7s 
1  = -2 +r -2s 

So formt man das Gleichungssystem um:
-2r -1s  = -1 
-3r -7s  = 4 
-1r +2s  = -3 
 ( Variablen wurden nach links gebracht, Zahlen nach rechts. )
-2r -1s  = -1 
-3r -7s  = 4 
 4,33s  = -4,33 
 ( das -0,33-fache der zweiten Zeile wurde zur dritten Zeile addiert )
-2r -1s  = -1 
 -5,5s  = 5,5 
 4,33s  = -4,33 
 ( das -1,5-fache der ersten Zeile wurde zur zweiten Zeile addiert )
r +0,5s  = 0,5 
 -5,5s  = 5,5 
 4,33s  = -4,33 
 ( die erste Zeile wurde durch -2 geteilt )
r +0,5s  = 0,5 
 -5,5s  = 5,5 
 0   = 0 
 ( das 0,79-fache der zweiten Zeile wurde zur dritten Zeile addiert )
r +0,5s  = 0,5 
 s  = -1 
 0   = 0 
 ( die zweite Zeile wurde durch -5,5 geteilt )


zweite Zeile:
  s   =  -1

erste Zeile:
r  +0,5s   =  0,5
Schon berechnete Variablen einsetzen:  
r  +0,5⋅(-1)   =  0,5
Nach r freistellen: r = 1

Werte in Ebene einsetzen:
(2)
4
-2
+1
(2)
3
1
+(-1)
(1)
7
-2
=
(3)
0
1

Also liegt der Punkt (3|0|1) auf der Ebenen.