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Wie testet man, ob ein Punkt auf einer Geraden liegt?
Man setzt ihn gleich der Gleichung der Geraden. Beispiel:| Testen: Liegt der Punkt | ( 1 | 3 | -3 ) | auf |
| ? |
Vektorgleichung:
| ( | 1 | ) | = | ( | 6 | ) | +r | ( | 2 | ) |
| 3 | 3 | 3 | ||||||||
| -3 | -2 | 4 |
Das liefert das folgende Gleichungssystem:
| 1 | = | 6 | +2r |
| 3 | = | 3 | +3r |
| -3 | = | -2 | +4r |
Das Gleichungssystem löst man so:
| ( Variablen wurden nach links gebracht, Zahlen nach rechts. ) | |||||||||
| ( das -1,33-fache der zweiten Zeile wurde zur dritten Zeile addiert ) |
dritte Zeile:
0r = 1
Nicht möglich, da 0 mal irgendwas immer 0 und nie 1 ist.
Also liegt der Punkt nicht darauf.
Und das Gleichungssystem vereinfacht sich extrem, wenn der Punkt auf der Geraden liegt. Beispiel:
| Testen: Liegt der Punkt | ( 4 | 0 | -1 ) | auf |
| ? |
Vektorgleichung:
| ( | 4 | ) | = | ( | 8 | ) | +r | ( | 2 | ) |
| 0 | 8 | 4 | ||||||||
| -1 | 1 | 1 |
Das liefert das folgende Gleichungssystem:
| 4 | = | 8 | +2r |
| 0 | = | 8 | +4r |
| -1 | = | 1 | +r |
So formt man das Gleichungssystem um:
| ( Variablen wurden nach links gebracht, Zahlen nach rechts. ) | |||||||||
| ( das -0,25-fache der zweiten Zeile wurde zur dritten Zeile addiert ) | |||||||||
| ( das -2-fache der ersten Zeile wurde zur zweiten Zeile addiert ) | |||||||||
| ( die erste Zeile wurde durch -2 geteilt ) |
| erste Zeile: |
|
Werte in Gerade einsetzen:
| +(-2) |
| = |
|
Also liegt der Punkt (4|0|-1) auf der Geraden.