Esboço de curva


Esboço de curva


Insira sua função aqui.
Dicas: Enter como 3*x^2 ,
como (x+1)/(x-2x^4) e
como 3/5.

O que seria um esboço de curva?

Esboço de curva é um cálculo para encontrar pontos característicos de uma função, por exemplo, raízes, eixo-y intersepto, pontos extremos máximos e mínimos e pontos de inflexão.

Como acho esses pontos?

Calculando as derivadas. Defina que a derivada da função seja zero: As raízes serão a solução da equação f_f(x)=0. Pontos extremos podem ser a raíz da derivada, ou seja, você tem que resolver a equação f_f'(x)=0 para encontrar o ponto extremo máximo/mínimo. (para saber se há ou não pontos extemos na raíz da derivada, basta usar o critério de troca de sinais. Já no ponto de inflexão, a segunda derivada deve ser 0, então resolva a equação para encontrar esse ponto f_f''(x)=0 .

Por que o esboço de curva não é tão usado hoje em dia?

É simples: Você só precisa aprender o mesmo cálculo de sempre sem ter que pensar muito a respeito. Diferente dos exercícios de hoje em dia em que pensar mais se torna mais importante.

Posso ver um exemplo?

Claro! Vamos lá f_f(x)=x^3-x


Mathepower funciona com essa função:
Aqui está o gráfico da sua função.
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  • Raízes á -1; 0; 1
  • intercepção do eixo-y á (0|0)
  • Mais alto e mais baixo ponto extremo á (-0.577|0.385); (0.577|-0.385)
  • Pontos de inflexão á (0|0)
Isto é o que a Mathepower calculou:

Raízes:
Procurando a raíz x^3+-1*x
| Fator 1*x .
1*(1*x^2+-1)*x=0
(1*x^2+-1)=0| O produto é igual a 0. Então o fator (1*x^2+-1) deve ser zero...
1*x^2+-1=0| +1
1*x^2=1| Extraia a raíz quadrada de ambos os lados
x=+-*1^0.5
x_1=1^0.5| Extraia a raíz 1
1*x_1=1
x_2=-1*1^0.5| Extraia a raíz 1
1*x_2=-1
x=0| ...ou o fator x deve ser zero...
x=0
Então, as raízes são: {-1;0;1}

Simetria
f(x)=x^3+-1*x é um ponto simétrico à origem.

Calcule a intercepção do eixo-y inserindo 0.
Insira 0 na função f(x) :
f(0)=0^3+-1*0=0
Então, a intercepção do eixo-y está em (0|0)

Derive a função f(x)=x^3+-1*x
Derivada da função 1*x^3+-1*x :
( Derivada 1*x^3 )  +  ( Derivada -1*x )
3*x^2  +  -1
Então, a derivada de 1*x^3+-1*x é 3*x^2+-1 .
Então a primeira derivada é: f'(x)=3*x^2+-1

Segunda derivada, ou seja, derivada de f'(x)=3*x^2+-1:
Derivada da função 3*x^2+-1 :
( Derivada 3*x^2 )  +  ( Derivada -1 )
3*2*x  +  0
Então, a derivada de 3*x^2+-1 é 3*2*x+0 .
Simplifique a derivada:
| Multiplique 3 por 2
= 3*2*x
Então a segunda derivada é f''(x)=6*x

Terceira derivada, ou seja, derivada de f''(x)=6*x:
A derivada de 6*x é 6
Então a terecira derivada é f'''(x)=6

Procurando por pontos extremos.
Temos que encontrar a raíz da primeira derivada.
Procurando a raíz 3*x^2+-1
| +1
3*x^2=1| : 3
1*x^2=0.333| Extraia a raíz quadrada de ambos os lados
x=+-*0.333^0.5
x_1=0.333^0.5| Extraia a raíz 0.333
1*x_1=0.577
x_2=-1*0.333^0.5| Extraia a raíz 0.333
1*x_2=-0.577
Os pontos extremospodem estar em {-0.577;0.577}
Insira a raíz da primeira derivada na segunda derivada:
Insira -0.577 na função f''(x) :
f''(-0.577)=6*-0.577=-3.464
-3.464 é menor que 0. Então existe um máximo -0.577 .
Insira -0.577 na função f(x) :
f(-0.577)=-0.577^3+-1*-0.577=0.385
Ponto extremo máximo (-0.577|0.385)
Insira 0.577 na função f''(x) :
f''(0.577)=6*0.577=3.464
3.464 é maior que 0. Então existe um mínimo 0.577 .
Insira 0.577 na função f(x) :
f(0.577)=0.577^3+-1*0.577=-0.385
Ponto extremo mínimo (0.577|-0.385)

Procurando o ponto de infexão.
É preciso encontrar a raíz da segunda derivada.
Procurando a raíz 6*x
| : 6
1*x=0
O ponto de inflexão podem estar em {0}
Insira a raíz da segunda derivada na terceira derivada:
x , então é fornecida por inserção 6
6 é maior que 0. Então existe um ponto de inflexão 0 .
Insira 0 na função f(x) :
f(0)=0^3+-1*0=0
Ponto de inflexão (0|0)