Esboço de curva

Curve sketching Studio di funzione esquisse de courbe رسم المنحنى वक्र स्केचिंग 曲线讨论 Functie onderzoek Estudio de una función Esboço de curva


Esboço de curva


Insira sua função aqui.
Dicas: Enter como 3*x^2 ,
como (x+1)/(x-2x^4) e
como 3/5.



O que seria um esboço de curva?

Esboço de curva é um cálculo para encontrar pontos característicos de uma função, por exemplo, raízes, eixo-y intersepto, pontos extremos máximos e mínimos e pontos de inflexão.

Como acho esses pontos?

Calculando as derivadas. Defina que a derivada da função seja zero: As raízes serão a solução da equação f_f(x)=0. Pontos extremos podem ser a raíz da derivada, ou seja, você tem que resolver a equação f_f'(x)=0 para encontrar o ponto extremo máximo/mínimo. (para saber se há ou não pontos extemos na raíz da derivada, basta usar o critério de troca de sinais. Já no ponto de inflexão, a segunda derivada deve ser 0, então resolva a equação para encontrar esse ponto f_f''(x)=0 .

Por que o esboço de curva não é tão usado hoje em dia?

É simples: Você só precisa aprender o mesmo cálculo de sempre sem ter que pensar muito a respeito. Diferente dos exercícios de hoje em dia em que pensar mais se torna mais importante.

Posso ver um exemplo?

Claro! Vamos lá f_f(x)=x^3-x


Mathepower funciona com essa função:
Aqui está o gráfico da sua função.
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  • Raízes á -1; 0; 1
  • intercepção do eixo-y á (0|0)
  • Mais alto e mais baixo ponto extremo á (-0.577|0.385); (0.577|-0.385)
  • Pontos de inflexão á (0|0)
Isto é o que a Mathepower calculou:

Raízes:
Procurando a raíz x^3+-1*x
| Fator 1*x .
1*(1*x^2+-1)*x=0
(1*x^2+-1)=0| O produto é igual a 0. Então o fator (1*x^2+-1) deve ser zero...
1*x^2+-1=0| +1
1*x^2=1| Extraia a raíz quadrada de ambos os lados
x=+-*1^0.5
x_1=1^0.5| Extraia a raíz 1
1*x_1=1
x_2=-1*1^0.5| Extraia a raíz 1
1*x_2=-1
x=0| ...ou o fator x deve ser zero...
x=0
Então, as raízes são: {-1;0;1}

Simetria
f(x)=x^3+-1*x é um ponto simétrico à origem.

Calcule a intercepção do eixo-y inserindo 0.
Insira 0 na função f(x) :
f(0)=0^3+-1*0=0
Então, a intercepção do eixo-y está em (0|0)

Derive a função f(x)=x^3+-1*x
Derivada da função 1*x^3+-1*x :
( Derivada 1*x^3 )  +  ( Derivada -1*x )
3*x^2  +  -1
Então, a derivada de 1*x^3+-1*x é 3*x^2+-1 .
Então a primeira derivada é: f'(x)=3*x^2+-1

Segunda derivada, ou seja, derivada de f'(x)=3*x^2+-1:
Derivada da função 3*x^2+-1 :
( Derivada 3*x^2 )  +  ( Derivada -1 )
3*2*x  +  0
Então, a derivada de 3*x^2+-1 é 3*2*x+0 .
Simplifique a derivada:
| Multiplique 3 por 2
= 3*2*x
Então a segunda derivada é f''(x)=6*x

Terceira derivada, ou seja, derivada de f''(x)=6*x:
A derivada de 6*x é 6
Então a terecira derivada é f'''(x)=6

Procurando por pontos extremos.
Temos que encontrar a raíz da primeira derivada.

Procurando a raíz 3*x^2+-1
| +1
3*x^2=1| : 3
1*x^2=0.333| Extraia a raíz quadrada de ambos os lados
x=+-*0.333^0.5
x_1=0.333^0.5| Extraia a raíz 0.333
1*x_1=0.577
x_2=-1*0.333^0.5| Extraia a raíz 0.333
1*x_2=-0.577
Os pontos extremospodem estar em {-0.577;0.577}
Insira a raíz da primeira derivada na segunda derivada:
Insira -0.577 na função f''(x) :
f''(-0.577)=6*-0.577=-3.464
-3.464 é menor que 0. Então existe um máximo -0.577 .
Insira -0.577 na função f(x) :
f(-0.577)=-0.577^3+-1*-0.577=0.385
Ponto extremo máximo (-0.577|0.385)
Insira 0.577 na função f''(x) :
f''(0.577)=6*0.577=3.464
3.464 é maior que 0. Então existe um mínimo 0.577 .
Insira 0.577 na função f(x) :
f(0.577)=0.577^3+-1*0.577=-0.385
Ponto extremo mínimo (0.577|-0.385)

Procurando o ponto de infexão.
É preciso encontrar a raíz da segunda derivada.

Procurando a raíz 6*x
| : 6
1*x=0
O ponto de inflexão podem estar em {0}
Insira a raíz da segunda derivada na terceira derivada:
x , então é fornecida por inserção 6
6 é maior que 0. Então existe um ponto de inflexão 0 .
Insira 0 na função f(x) :
f(0)=0^3+-1*0=0
Ponto de inflexão (0|0)