Was ist eine Kurvendiskussion?
Bei einer Kurvendiskussion bestimmt man sämtliche charakteristischen Punkte einer Funktion, also Nullstellen, y-Achsenschnittpunkt, Hoch- und Tiefpunkte, Wendepunkt.Wie bestimmt man diese Punkte?
Man bestimmt zuerst die erste, zweite und dritte Ableitung der Funktion. Dann setzt man die Funktion sowie diese Ableitung gleich Null: Nullstellen sind Lösungen der GleichungWieso werden Kurvendiskussionen in der Schule nicht mehr so viel geübt?
Eigentlich sind Kurvendiskussionen ein wenig sinnlos: Man rechnet stur nach Verfahren alle möglichen Punkte eines Funktionsgraphen aus, ohne darüber nachzudenken, was diese anschaulich bedeuten. Deswegen werden heutzutage Aufgaben immer wichtiger, in denen man nicht nur stur alle möglichen Punkte ausrechnet, sondern auch mal überlegt, was diese Punkte in Anwendungskontexten bedeuten.Kann ich mal ein Beispiel sehen?
Ja, schauen wir uns mal die Kurvendiskussion der FunktionMathepower rechnet mit dieser Funktion:
Nullstellen: Nullstellen gesucht von
Symmetrie: y-Achsenabschnitt: 0 in die Funktion einsetzen Wert 0 in Also: y-Achsenabschnitt bei (0|0) Ableiten der Funktion
Zweite Ableitung, also Ableitung der Funktion
Dritte Ableitung, also Ableitung der Funktion Ableitung von Also lautet die dritte Ableitung: Extrempunkte gesucht. Notwendiges Kriterium: Nullstellen der ersten Ableitung finden. Nullstellen gesucht von
Nullstellen der ersten Ableitung in zweite einsetzen: Wert -0.577 in -3.464 ist kleiner als 0. Bei Wert -0.577 in Hochpunkt (-0.577|0.385) Wert 0.577 in 3.464 ist größer als 0. Bei Wert 0.577 in Tiefpunkt (0.577|-0.385) Wendepunkte gesucht. Notwendiges Kriterium: Nullstellen der zweiten Ableitung finden. Nullstellen gesucht von
Nullstellen der zweite Ableitung in dritte einsetzen: Da in der dritten Ableitung gar kein x mehr vorkommt, ergibt das Einsetzen 6. 6 ist größer als 0. Bei Wert 0 in Wendepunkt (0|0) |