Kurvendiskussion

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Curve sketching Studio di funzione esquisse de courbe

Kurvendiskussion


Gib hier deine Funktion ein.
Eingabetipps: Gib als 3*x^2 ein,
als (x+1)/(x-2x^4) und
als 3/5.

Was ist eine Kurvendiskussion?

Bei einer Kurvendiskussion bestimmt man sämtliche charakteristischen Punkte einer Funktion, also Nullstellen, y-Achsenschnittpunkt, Hoch- und Tiefpunkte, Wendepunkt.

Wie bestimmt man diese Punkte?

Man bestimmt zuerst die erste, zweite und dritte Ableitung der Funktion. Dann setzt man die Funktion sowie diese Ableitung gleich Null: Nullstellen sind Lösungen der Gleichung f_f(x)=0. Extrempunkte können nur an Nullstellen der Ableitungsfunktion sein, also muss man die Gleichung f_f'(x)=0 lösen, um mögliche Extrempunkte zu finden. (ob an einer Nullstelle der Ableitung wirklich ein Extrempunkt ist, kann man mit dem Vorzeichenwechselkriterium testen.) An einem Wendepunkt muss die zweite Ableitung gleich 0 sein, also ist, um einen Wendepunkt zu finden, die Gleichung f_f''(x)=0 zu lösen.

Wieso werden Kurvendiskussionen in der Schule nicht mehr so viel geübt?

Eigentlich sind Kurvendiskussionen ein wenig sinnlos: Man rechnet stur nach Verfahren alle möglichen Punkte eines Funktionsgraphen aus, ohne darüber nachzudenken, was diese anschaulich bedeuten. Deswegen werden heutzutage Aufgaben immer wichtiger, in denen man nicht nur stur alle möglichen Punkte ausrechnet, sondern auch mal überlegt, was diese Punkte in Anwendungskontexten bedeuten.

Kann ich mal ein Beispiel sehen?

Ja, schauen wir uns mal die Kurvendiskussion der Funktion f_f(x)=x^3-x an.


Mathepower rechnet mit dieser Funktion:
Hier siehst du den Graphen deiner Funktion.
Dein Browser unterstützt den HTML-Canvas-Tag nicht. Hol dir einen neuen. :P
  • Nullstellen bei -1; 0; 1
  • y-Achsenabschnitt bei (0|0)
  • Hochpunkte, Tiefpunkte bei (-0.577|0.385); (0.577|-0.385)
  • Wendepunkte bei (0|0)
Mathepower hat wie folgt gerechnet:

Nullstellen:
Nullstellen gesucht von x^3+-1*x
| Klammere 1*x aus.
1*(1*x^2+-1)*x=0
(1*x^2+-1)=0| Produkt Null. Also ist entweder der Faktor (1*x^2+-1) gleich Null...
1*x^2+-1=0| +1
1*x^2=1| Auf beiden Seiten Quadratwurzel ziehen.
x=+-*1^0.5
x_1=1^0.5| Ziehe die Wurzel aus 1
1*x_1=1
x_2=-1*1^0.5| Ziehe die Wurzel aus 1
1*x_2=-1
x=0| ... oder der Faktor x ist gleich Null
x=0
Nullstellen sind also: {-1;0;1}

Symmetrie:
f(x)=x^3+-1*x ist punktsymmetrisch zum Ursprung.

y-Achsenabschnitt: 0 in die Funktion einsetzen
Wert 0 in f(x) einsetzen:
f(0)=0^3+-1*0=0
Also: y-Achsenabschnitt bei (0|0)

Ableiten der Funktion f(x)=x^3+-1*x
1*x^3+-1*x ableiten:
( Ableitung von 1*x^3 )  +  ( Ableitung von -1*x )
3*x^2  +  -1
Die Ableitung von 1*x^3+-1*x ist also 3*x^2+-1 .
Also lautet die erste Ableitung: f'(x)=3*x^2+-1

Zweite Ableitung, also Ableitung der Funktion f'(x)=3*x^2+-1:
3*x^2+-1 ableiten:
( Ableitung von 3*x^2 )  +  ( Ableitung von -1 )
3*2*x  +  0
Die Ableitung von 3*x^2+-1 ist also 3*2*x+0 .
Ableitung vereinfachen:
| Multipliziere 3 und 2
= 3*2*x
Also lautet die zweite Ableitung: f''(x)=6*x

Dritte Ableitung, also Ableitung der Funktion f''(x)=6*x:
Ableitung von 6*x ist 6
Also lautet die dritte Ableitung: f'''(x)=6

Extrempunkte gesucht.
Notwendiges Kriterium: Nullstellen der ersten Ableitung finden.
Nullstellen gesucht von 3*x^2+-1
| +1
3*x^2=1| : 3
1*x^2=0.333| Auf beiden Seiten Quadratwurzel ziehen.
x=+-*0.333^0.5
x_1=0.333^0.5| Ziehe die Wurzel aus 0.333
1*x_1=0.577
x_2=-1*0.333^0.5| Ziehe die Wurzel aus 0.333
1*x_2=-0.577
mögliche Extremstellen bei {-0.577;0.577}
Nullstellen der ersten Ableitung in zweite einsetzen:
Wert -0.577 in f''(x) einsetzen:
f''(-0.577)=6*-0.577=-3.464
-3.464 ist kleiner als 0. Bei -0.577 wird also ein Maximum angenommen.
Wert -0.577 in f(x) einsetzen:
f(-0.577)=-0.577^3+-1*-0.577=0.385
Hochpunkt (-0.577|0.385)
Wert 0.577 in f''(x) einsetzen:
f''(0.577)=6*0.577=3.464
3.464 ist größer als 0. Bei 0.577 wird also ein Minimum angenommen.
Wert 0.577 in f(x) einsetzen:
f(0.577)=0.577^3+-1*0.577=-0.385
Tiefpunkt (0.577|-0.385)

Wendepunkte gesucht.
Notwendiges Kriterium: Nullstellen der zweiten Ableitung finden.
Nullstellen gesucht von 6*x
| : 6
1*x=0
mögliche Wendepunkte bei {0}
Nullstellen der zweite Ableitung in dritte einsetzen:
Da in der dritten Ableitung gar kein x mehr vorkommt, ergibt das Einsetzen 6.
6 ist größer als 0. Bei 0 ist also ein Wendepunkt rechts->links.
Wert 0 in f(x) einsetzen:
f(0)=0^3+-1*0=0
Wendepunkt (0|0)