Was ist die Ableitung?
Die Ableitung einer Funktion an der Stelle x gibt an, welche Steigung der Graph der Funktion an der Stelle x hat, das heißt, welche Steigung eine Tangente an den Graphen im Punkt (x|f(x)) hat.
Beispiel: Die Normalparabel
hat im Punkt (1|1) die Tangente
, also die Steigung
. Die Ableitung der Normalparabel bei
ist also gleich
.
Was ist der Unterschied zwischen der Ableitung und der Ableitungsfunktion?
Die Ableitungsfunktion f'(x) einer Funktion f(x) ist eine Funktion, die für jeden Wert x die Ableitung von x angibt. Soll heißen: Um die Steigung des Graphen von f an der Stelle x zu bestimmen, muss man einfach nur x in die Ableitungsfunktion einsetzen. Umgangssprachlich sagt man statt Ableitungsfunktion aber häufig auch einfach Ableitung.Und wie berechnet man eine Ableitung?
Bevor man die Ableitungsregeln entdeckt hat, muss man mit Hilfe des Differenzenquotienten für jeden Punkt einzeln ausrechnen, welche Ableitung die Funktion dort hat. Mit Hilfe der Ableitungsregeln wird dies einfacher: Zunächst bestimmt man die Ableitung von Potenzfunktionen- die Faktorregel:
- und die Summenregel: Die Ableitung der Funktion
ist gleich
- die Produktregel: Die Abletiung der Funktion
ist gleich
- die Quotientenregel: Die Ableitung der Funktion
ist gleich
- die Kettenregel: Die Ableitung der Funktion
ist gleich