Punkt auf Gerade

Wie testet man, ob ein Punkt auf einer Geraden liegt?

Man setzt ihn gleich der Gleichung der Geraden. Beispiel:

Testen: Liegt der Punkt

( 1 | 3 | -3 )

auf

g: x= ( 6 ) +r ( 2 ) 3 3 -2 4

?

Vektorgleichung:

(	1	)	=	(	6	)	+r	(	2	)
	3				3				3
	-3				-2				4

Das liefert das folgende Gleichungssystem:

1	=	6	+2r
3	=	3	+3r
-3	=	-2	+4r

Das Gleichungssystem löst man so:

-2r   =  5  -3r   =  0  -4r   =  1	( Variablen wurden nach links gebracht, Zahlen nach rechts. )
-2r   =  5  -3r   =  0  0    =  1	( das -1,33-fache der zweiten Zeile wurde zur dritten Zeile addiert )

dritte Zeile:
0r  =  1
Nicht möglich, da 0 mal irgendwas immer 0 und nie 1 ist.
Also liegt der Punkt nicht darauf.



Und das Gleichungssystem vereinfacht sich extrem, wenn der Punkt auf der Geraden liegt. Beispiel:

Testen: Liegt der Punkt

( 4 | 0 | -1 )

auf

g: x= ( 8 ) +r ( 2 ) 8 4 1 1

?

Vektorgleichung:

(	4	)	=	(	8	)	+r	(	2	)
	0				8				4
	-1				1				1

Das liefert das folgende Gleichungssystem:

4	=	8	+2r
0	=	8	+4r
-1	=	1	+r

So formt man das Gleichungssystem um:

-2r   =  4  -4r   =  8  -1r   =  2	( Variablen wurden nach links gebracht, Zahlen nach rechts. )
-2r   =  4  -4r   =  8  0    =  0	( das -0,25-fache der zweiten Zeile wurde zur dritten Zeile addiert )
-2r   =  4  0    =  0  0    =  0	( das -2-fache der ersten Zeile wurde zur zweiten Zeile addiert )
r   =  -2  0    =  0  0    =  0	( die erste Zeile wurde durch -2 geteilt )

erste Zeile:

r   =  -2

Werte in Gerade einsetzen:

( 8 ) 8 1

+(-2)

( 2 ) 4 1

=

( 4 ) 0 -1

Also liegt der Punkt (4|0|-1) auf der Geraden.