Schnittmenge zweier Ebenen bestimmen

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Klicke an, wie die erste Ebene gegeben ist.
  • Parametergleichung

     E: x =    + r   + s  

  • Koordinatengleichung

  • Normalengleichung

  • durch drei Punkte gegeben

schneiden mit Ebene

Klicke an, wie die zweite Ebene gegeben ist.
  • Parametergleichung

     E: x =    + r   + s  

  • Koordinatengleichung

  • Normalengleichung

  • durch drei Punkte gegeben

Worum geht es hier?

Angenommen, man hat zwei Ebenen im Raum. Entweder schneiden diese sich; dann ist die Schnittmenge eine Gerade. Oder sie schneiden sich nicht, weil sie parallel sind. Was von beidem der Fall ist, findet man zum Beispiel heraus, indem man die Ebenen gleichsetzt (was zu einem größeren Gleichungssystem führt.)

Wie kann man eine Schnittgerade berechnen?

Aufgabe: Schnittpunkte finden von
E: x=(1)+r(2)+s(3)
232
514
 und 
E: x=(1)+r(4)+s(2)
314
233

Vektorgleichung (bedenke, Parameter umzubenennen...):
(1)+r(2)+s(3) =(1)+t(4)+u(2)
232314
514233

Das liefert das folgende Gleichungssystem:
+2r +3s  = +4t +2u 
+3r +2s  = +t +4u 
+r +4s  = +3t +3u 

So formt man das Gleichungssystem um:
2r +3s -4t -2u  = 
3r +2s -1t -4u  = 
+4s -3t -3u  = -3 
( Variablen wurden nach links gebracht, Zahlen nach rechts. )
2r +3s -4t -2u  = 
3r +2s -1t -4u  = 
 3,33s -2,67t -1,67u  = -3,33 
( das -0,33-fache der zweiten Zeile wurde zur dritten Zeile addiert )
2r +3s -4t -2u  = 
 -2,5s +5t -1u  = 
 3,33s -2,67t -1,67u  = -3,33 
( das -1,5-fache der ersten Zeile wurde zur zweiten Zeile addiert )
+1,5s -2t -1u  = 
 -2,5s +5t -1u  = 
 3,33s -2,67t -1,67u  = -3,33 
( die erste Zeile wurde durch 2 geteilt )
+1,5s -2t -1u  = 
 -2,5s +5t -1u  = 
 -0s +4t -3u  = -2 
( das 1,33-fache der zweiten Zeile wurde zur dritten Zeile addiert )
+1,5s -2t -1u  = 
 -2,5s +5t -1u  = 
  4t -3u  = -2 
( das -0-fache der zweiten Zeile wurde zur dritten Zeile addiert )
+1,5s -2t -1u  = 
 -2t +0,4u  = -0,4 
  4t -3u  = -2 
( die zweite Zeile wurde durch -2,5 geteilt )
+1,5s -2t -1u  = 
 -2t +0,4u  = -0,4 
  -0,75u  = -0,5 
( die dritte Zeile wurde durch 4 geteilt )

dritte Zeile: t-0,75u = -0,5
u frei wählbar.
Nach t freistellen:   t = 0,75u -0,5

zweite Zeile:
  -2t  +0,4u   =  -0,4
Schon berechnete Variablen einsetzen:  
  -2⋅(0,75u -0,5)  +0,4⋅1u    =  -0,4
Nach s freistellen: s = 1,1u -1,4

erste Zeile:
+1,5s  -2t  -1u   =  0
Schon berechnete Variablen einsetzen:  
+1,5⋅(1,1u -1,4)  -2⋅(0,75u -0,5)  -1⋅1u    =  0
Nach r freistellen: r = 0,85u +1,1

Werte in zweite Ebene einsetzen:
(1)
3
2
+(0,75u -0,5)
(4)
1
3
+1u 
(2)
4
3
=
(-1)
2,5
0,5
+u
(5)
4,75
5,25

Also Schnittgerade:
g: x=(-1)+r(5)
2,54,75
0,55,25

Wie sieht man der Rechnung an, dass sich die Ebenen nicht schneiden?

In diesem Fall erhält man für gewöhnlich ziemlich schnell ein offensichtlich nicht lösbares Gleichungssystem, so wie im folgenden Beispiel:

Aufgabe: Schnittpunkte finden von
E: x=(1)+r(1)+s(0)
201
400
 und 
E: x=(2)+r(1)+s(2)
313
500

Vektorgleichung (bedenke, Parameter umzubenennen...):
(1)+r(1)+s(0) =(2)+t(1)+u(2)
201313
400500

Das liefert das folgende Gleichungssystem:
+r   = +t +2u 
 +s  = +t +3u 
   =   

Das Gleichungssystem löst man so:
 -1t -2u  = 
 -1t -3u  = 
   0   = 
( Variablen wurden nach links gebracht, Zahlen nach rechts. )


dritte Zeile:
0u  =  1
Nicht möglich, da 0 mal irgendwas immer 0 und nie 1 ist.
Also gibt es keine Schnittpunkte.

Und wie bekomme ich nun heraus, ob meine Ebenen sich schneiden?

Einfach oben eingeben und nachrechnen lassen.