Punkt auf Ebene




Gib hier einen Punkt und eine Ebene ein. Mathepower rechnet nach, ob der Punkt auf der Ebenen liegt.

P(||)

Ebene

Klicke an, wie die Ebene gegeben ist.
  • Parametergleichung

     E: x =    + r   + s  

  • Koordinatengleichung

  • Normalengleichung

  • durch drei Punkte gegeben

Wie testet man, ob ein Punkt auf einer Ebene liegt?

Man setzt den Punkt gleich der Parametergleichung der Ebene und löst das entstehende Gleichungssystem. Zwei Beispiele:

Testen: Liegt der Punkt  ( 3 | 4 | 2 )  auf 
E: x=(1)+r(4)+s(2)
4-20
11-3
?

Vektorgleichung:
(3) =(1)+r(4)+s(2)
44-20
211-3

Das liefert das folgende Gleichungssystem:
 = +4r +2s 
 = -2r  
 = +r -3s 

Das Gleichungssystem löst man so:
-4r -2s  = -2 
2r   = 
-1r +3s  = -1 
( Variablen wurden nach links gebracht, Zahlen nach rechts. )
-4r -2s  = -2 
2r   = 
 3s  = -1 
( das 0,5-fache der zweiten Zeile wurde zur dritten Zeile addiert )
-4r -2s  = -2 
 -1s  = -1 
 3s  = -1 
( das 0,5-fache der ersten Zeile wurde zur zweiten Zeile addiert )
+0,5s  = 0,5 
 -1s  = -1 
 3s  = -1 
( die erste Zeile wurde durch -4 geteilt )
+0,5s  = 0,5 
 -1s  = -1 
 0   = -4 
( das 3-fache der zweiten Zeile wurde zur dritten Zeile addiert )


dritte Zeile:
0s  =  -4
Nicht möglich, da 0 mal irgendwas immer 0 und nie -4 ist.
Also liegt der Punkt nicht darauf.


Oder ein Beispiel, in dem der Punkt auf der Ebene liegt:

Testen: Liegt der Punkt  ( 3 | 0 | 1 )  auf 
E: x=(2)+r(2)+s(1)
437
-21-2
?

Vektorgleichung:
(3) =(2)+r(2)+s(1)
0437
1-21-2

Das liefert das folgende Gleichungssystem:
 = +2r +s 
 = +3r +7s 
 = -2 +r -2s 

So formt man das Gleichungssystem um:
-2r -1s  = -1 
-3r -7s  = 
-1r +2s  = -3 
( Variablen wurden nach links gebracht, Zahlen nach rechts. )
-2r -1s  = -1 
-3r -7s  = 
 4,33s  = -4,33 
( das -0,33-fache der zweiten Zeile wurde zur dritten Zeile addiert )
-2r -1s  = -1 
 -5,5s  = 5,5 
 4,33s  = -4,33 
( das -1,5-fache der ersten Zeile wurde zur zweiten Zeile addiert )
+0,5s  = 0,5 
 -5,5s  = 5,5 
 4,33s  = -4,33 
( die erste Zeile wurde durch -2 geteilt )
+0,5s  = 0,5 
 -5,5s  = 5,5 
 0   = 
( das 0,79-fache der zweiten Zeile wurde zur dritten Zeile addiert )
+0,5s  = 0,5 
  = -1 
 0   = 
( die zweite Zeile wurde durch -5,5 geteilt )


zweite Zeile:
   =  -1

erste Zeile:
+0,5s   =  0,5
Schon berechnete Variablen einsetzen:  
+0,5⋅(-1)   =  0,5
Nach r freistellen: r = 1

Werte in Ebene einsetzen:
(2)
4
-2
+1
(2)
3
1
+(-1)
(1)
7
-2
=
(3)
0
1

Also liegt der Punkt (3|0|1) auf der Ebenen.