Was ist ein Extrempunkt?
Ein
Extrempunkt ist ein Punkt, in dem ein Funktionsgraph lokal den höchsten Wert annimmt (ein sogenannter Hochpunkt) oder lokal den tiefsten Wert annimmt (ein sogenannter Tiefpunkt). Eine Funktion muss ihre höchsten und tiefsten Funktionswerte aber nicht immer in einem Extrempunkt annehmen.
Der Graph der Funktion hat in (0|-3) einen lokalen Hochpunkt, obwohl die Funktion anderswo (zum Beispiel in (2|5)) höhere Funktionswerte annimmt. Ein Hochpunkt muss also nicht der höchste Funktionswert sein, sondern nur lokal der höchste, sprich es gibt in einer kleinen Umgebung des Punktes keinen höheren.
Wie findet man Extrempunkte?
Die Idee ist folgende: In einem Extrempunkt sind die Tangenten flach.
Ist ein Punkt ein Extrempunkt, dann mus die
Tangente in diesem Punkt flach sein, also die Steigung
haben. Also ist die Grundidee der Extrempunktsuche folgende:
- Finde eine Möglichkeit, die Tangentensteigungen zu berechnen ( das geht mit Hilfe der sogenannten Ableitung ).
- Finde heraus, wann die Tangentensteigung gleich ist. Dort könnte ein Extrempunkt sein (muss aber nicht!)
Um einen Extrempunkt zu finden, muss man also
Nullstellen der Ableitung suchen.
Muss man immer einen Extrempunkt haben, wenn die Tangentensteigung gleich Null ist?
Nein. Wenn die Tangentensteigung gleich
ist, dann kann man einen Hochpunkt haben (siehe oben)
oder die Steigung wird mal kurz
, obwohl man weder einen Hoch- noch einen Tiefpunkt hat. Einen solchen Punkt nennt man einen Sattelpunkt.
Muss die Tangentensteigung immer gleich Null sein, wenn ein Punkt ein Extrempunkt ist?
Ja. Das schon. Die Umkehrung gilt nicht, siehe oben. Man sagt daher: Dass die Tangentensteigung gleich
ist, ist notwendig, aber nicht hinreichend für einen Extrempunkt.
Angenommen, die Tangentensteigung ist . Wie finde ich dann heraus, ob ich jetzt einen Hoch-, Tief- oder Sattelpunkt habe?
Mit dem
Vorzeichenwechselkriterium.
Ich muss als Hausaufgabe Extrempunkte einer Funktion finden und weiß nicht weiter. Was kann ich machen?
Gib sie einfach oben ein und Mathepower erledigt den Rest, mit Erklärungen und Zwischenschritten.