Wofür braucht man das Vorzeichenwechselkriterium?
Um zu unterscheiden, ob eine Funktion, deren Ableitung
Diese Funktion hat bei (1|2) Steigung
und einen Hochpunkt. Bei
steigt der Graph, sprich, die Ableitung ist hier größer als
. Bei
fällt der Graph, sprich, die Ableitung ist hier kleiner als
. Hat eine Funktion also einen Hochpunkt, dann ist vor diesem Hochpunkt das Vorzeichen der Ableitung ein + und dahinter ein -. Die Ableitung macht also einen Vorzeichenwechsel von + nach -.

Diese Funktion hat bei (1|2) Steigung
, aber einen Tiefpunkt. Bei
fällt der Graph, sprich, die Ableitung ist hier kleiner als
. Bei
steigt der Graph, sprich, die Ableitung ist hier größer als
. Hat eine Funktion also einen Tiefpunkt, dann ist vor diesem Tiefpunkt das Vorzeichen der Ableitung ein - und dahinter ein +. Die Ableitung macht also einen Vorzeichenwechsel von - nach +.

Diese Funktion hat ebenfalls bei (1|2) Steigung
, aber weder einen Hoch- noch einen Tiefpunkt. Man sieht, dass der Graph sowohl bei
als auch bei
steigt. Macht die Ableitung keinen Vorzeichenwechsel, dann hat man offenbar keinen Extrempunkt. Einen solchen Punkt (der kein Extrempunkt ist, aber trotzdem Ableitung
hat) nennt man Sattelpunkt.
Wie wende ich das Vorzeichenwechselkriterium an?
- Zuerst leitest du deine Funktion ab.
- Dann bestimmst du die Nullstellen der Ableitung. Nur diese Nullstellen können x-Koordinaten von Hoch- oder Tiefpunkten sein.
- Als letztes setzt du Werte in der Nähe der Nullstellen in die Ableitung ein. Macht die Ableitung in der Nähe der Nullstelle einen Vorzeichenwechsel, so hast du einen Extrempunkt gefunden. Sonst nicht.
Wieso heißt das Vorzeichenwechselkriterium hinreichendes Kriterium?
Dass die Ableitung gleichWenn die Ableitung aber nicht nur
Kann ich mal eine Beispielaufgabe sehen?
Klar.
|
Zweite Ableitung, also Ableitung der Funktion
|
= | ( Multipliziere |
Dritte Ableitung, also Ableitung der Funktion
Extrempunkte gesucht.
Notwendiges Kriterium: Nullstellen der ersten Ableitung finden.
Nullstellen gesucht von
( Bringe | ||
( Teile auf beiden Seiten durch | ||
( Auf beiden Seiten Quadratwurzel ziehen. ) | ||
( Ziehe die Wurzel aus | ||
( Ziehe die Wurzel aus |
Vorzeichenwechsel-Kriterium: Ist bei
Setze -2 und 0 in die erste Ableitung ein.
Wert -2 in
( Rechne | ||
( Multipliziere | ||
( addiere |
( Rechne | ||
( Multipliziere |
Wert -1 in
( Rechne | ||
( Multipliziere | ||
( addiere |
Vorzeichenwechsel-Kriterium: Ist bei
Setze 0 und 2 in die erste Ableitung ein.
Wert 0 in
( Rechne | ||
( Multipliziere |
( Rechne | ||
( Multipliziere | ||
( addiere |
Wert 1 in
( addiere |