Schnittpunkt von Gerade und Ebene

Klicke an, wie die Gerade gegeben ist.
  • Parametergleichung

     g: x =    + r 

  • durch zwei Punkte gegeben

schneiden mit Ebene

Klicke an, wie die Ebene gegeben ist.
  • Parametergleichung

     E: x =    + r   + s  

  • Koordinatengleichung

  • Normalengleichung

  • durch drei Punkte gegeben

Worum geht es hier?

Hier kannst du den Schnittpunkt einer Gerade und einer Ebene berechnen, falls es ihn gibt.

Schneiden sich eine Gerade und eine Ebene immer?

Nein. Es gibt drei Möglichkeiten: Die Gerade könnte die Ebene in einem Punkt schneiden. Die Gerade könnte aber auch parallel zur Ebene verlaufen. Oder sie könnte komplett in der Ebene liegen.

Wie berechnet man den Schnittpunkt einer Geraden mit einer Ebene?

Aufgabe: Schnittpunkte finden von
g: x=(1)+r(2)
01
2-3
 und 
E: x=(4)+r(1)+s(2)
133
2-21

Vektorgleichung (bedenke, Parameter umzubenennen...):
(1)+r(2) =(4)+s(1)+t(2)
01133
2-32-21

Das liefert das folgende Gleichungssystem:
+2r  = +s +2t 
+r  = +3s +3t 
-3r  = -2s +t 

So formt man das Gleichungssystem um:
2r -1s -2t  = 
-3s -3t  = 
-3r +2s -1t  = 
( Variablen wurden nach links gebracht, Zahlen nach rechts. )
2r -1s -2t  = 
-3s -3t  = 
 -7s -10t  = 
( das 3-fache der zweiten Zeile wurde zur dritten Zeile addiert )
2r -1s -2t  = 
 -2,5s -2t  = -0,5 
 -7s -10t  = 
( das -0,5-fache der ersten Zeile wurde zur zweiten Zeile addiert )
-0,5s -1t  = 1,5 
 -2,5s -2t  = -0,5 
 -7s -10t  = 
( die erste Zeile wurde durch 2 geteilt )
-0,5s -1t  = 1,5 
 -2,5s -2t  = -0,5 
  -4,4t  = 4,4 
( das -2,8-fache der zweiten Zeile wurde zur dritten Zeile addiert )
-0,5s -1t  = 1,5 
 +0,8t  = 0,2 
  -4,4t  = 4,4 
( die zweite Zeile wurde durch -2,5 geteilt )
-0,5s -1t  = 1,5 
 +0,8t  = 0,2 
   = -1 
( die dritte Zeile wurde durch -4,4 geteilt )


dritte Zeile:
     =  -1

zweite Zeile:
  +0,8t   =  0,2
Schon berechnete Variablen einsetzen:  
  +0,8⋅(-1)   =  0,2
Nach s freistellen: s = 1

erste Zeile:
-0,5s  -1t   =  1,5
Schon berechnete Variablen einsetzen:  
-0,5⋅1  -1⋅(-1)   =  1,5
Nach r freistellen: r = 1

Werte in Ebene einsetzen:
(4)
1
2
+1
(1)
3
-2
+(-1)
(2)
3
1
=
(3)
1
-1

Schnittpunkt: ( 3 | 1 | -1 )

Wie sieht man, dass eine Gerade und eine Ebene parallel sind?

Das Gleichungssystem wird nicht aufgehen, siehe Beispiel.
Aufgabe: Schnittpunkte finden von
g: x=(2)+r(1)
30
13
 und 
E: x=(3)+r(2)+s(3)
400
114

Vektorgleichung (bedenke, Parameter umzubenennen...):
(2)+r(1) =(3)+s(2)+t(3)
30400
13114

Das liefert das folgende Gleichungssystem:
+r  = +2s +3t 
  =   
+3r  = +s +4t 

Das Gleichungssystem löst man so:
-2s -3t  = 
  0   = 
3r -1s -4t  = 
( Variablen wurden nach links gebracht, Zahlen nach rechts. )
-2s -3t  = 
  0   = 
 5s +5t  = -3 
( das -3-fache der ersten Zeile wurde zur dritten Zeile addiert )
-2s -3t  = 
 5s +5t  = -3 
  0   = 
( die dritte Zeile wurde mit der zweiten Zeile vertauscht )


dritte Zeile:
0t  =  1
Nicht möglich, da 0 mal irgendwas immer 0 und nie 1 ist.
Also gibt es keine Schnittpunkte.
Die Gerade ist parallel zu der Ebene.

Wie sieht man, dass die Gerade in der Ebene liegt?

Das Gleichungssystem hat viele Lösungen und eine Variable ist frei wählbar. Beispiel:

Aufgabe: Schnittpunkte finden von
g: x=(3)+r(1)
27
43
 und 
E: x=(4)+r(2)+s(-1)
961
712

Vektorgleichung (bedenke, Parameter umzubenennen...):
(3)+r(1) =(4)+s(2)+t(-1)
27961
43712

Das liefert das folgende Gleichungssystem:
+r  = +2s -1t 
+7r  = +6s +t 
+3r  = +s +2t 

So formt man das Gleichungssystem um:
-2s +t  = 
7r -6s -1t  = 
3r -1s -2t  = 
( Variablen wurden nach links gebracht, Zahlen nach rechts. )
-2s +t  = 
7r -6s -1t  = 
 1,57s -1,57t  = 
( das -0,43-fache der zweiten Zeile wurde zur dritten Zeile addiert )
-2s +t  = 
 8s -8t  = 
 1,57s -1,57t  = 
( das -7-fache der ersten Zeile wurde zur zweiten Zeile addiert )
-2s +t  = 
 8s -8t  = 
  -0t  = 
( das -0,2-fache der zweiten Zeile wurde zur dritten Zeile addiert )
-2s +t  = 
 -1t  = 
  -0t  = 
( die zweite Zeile wurde durch 8 geteilt )
-2s +t  = 
 -1t  = 
   = 
( die dritte Zeile wurde durch -0 geteilt )


dritte Zeile:
     =  0

zweite Zeile:
  -1t   =  0
Schon berechnete Variablen einsetzen:  
  -1⋅0   =  0
Nach s freistellen: s = 0

erste Zeile:
-2s  +t   =  1
Schon berechnete Variablen einsetzen:  
-2⋅0  +⋅0   =  1
Nach r freistellen: r = 1

Werte in Ebene einsetzen:
(4)
9
7
+0
(2)
6
1
+0
(-1)
1
2
=
(4)
9
7

Schnittpunkt: ( 4 | 9 | 7 )

Kann ich noch mehr Beispiele sehen?

Klar. Das hier ist Mathepower. Gib doch einfach, so lange du Lust hast, Geraden und Ebenen ein und lass dir ihren Schnittpunkt ausrechnen.