Ebenengleichungen aufstellen

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Gib hier drei Punkte ein. Mathepower stellt die Gleichungen der Ebene durch diese drei Punkte auf.
Gib drei Punkte an.
P(||)

Q(||)

R(||)

   



Worum geht es hier?

In der Linearen Algebra (lernt man für gewöhnlich in der Oberstufe) interessiert man sich unter anderem dafür, wie man mit Ebenen rechnen kann. Eine Ebene ist durch drei Punkte eindeutig bestimmt. (stell es dir anschaulich so vor, dass du durch drei Punkte immer ein Blatt Papier legen kannst.) Aber mit den drei Punkten kann man nicht so gut rechnen, deswegen bringt man die Ebene gerne in eine mathematisch schöne Form.

Welche Formen der Ebenengleichung gibt es?

Hat man drei Punkte gegeben, so kann man die Parameterform, die Koordinatenform oder die Normalenform aufstellen. Am Einfachsten ist es, zunächst die Parameterform aufzustellen, weil man Richtungsvektoren schnell aus den Punkten errechnen kann, siehe unten. Dann kann man die Parameterform in Normalen- und Koordinatenform umrechnen.

Kann ich mal ein Beispiel sehen?

Klar.

Gesucht: Ebene durch Punkte ( 3 | 4 | 1 ) , ( 4 | 2 | 5 )  und  ( 2 | 3 | 4 )
Erster Punkt ergibt Stützvektor. Richtungsvektoren sind Differenzen der Koordinaten der Punkte, also...
(4)
2
5
-
(3)
4
1
=
(1)
-2
4
(2)
3
4
-
(3)
4
1
=
(-1)
-1
3
Also Ebenengleichung in Parameterform:
E: x=(3)+r(1)+s(-1)
4-2-1
143
Normalenform von 
E: x=(3)+r(1)+s(-1)
4-2-1
143
soll bestimmt werden
Normalenvektor berechnen: Kreuzprodukt der Richtungsvektoren bestimmen
(1)
-2
4
×
(-1)
-1
3
=
((-2)⋅3-4⋅(-1))
4⋅(-1)-1⋅3
1⋅(-1)-(-2)⋅(-1)
=
(-2)
-7
-3
Also Normalengleichung:
E:(x-
(3)
4
1
)⋅
(-2)
-7
-3
=0
Koordinatenform von  
E:(x-
(3)
4
1
)⋅
(-2)
-7
-3
=0
 soll bestimmt werden
Ausmultiplizieren: (x-
(3)
4
1
)⋅
(-2)
-7
-3
= x⋅
(-2)
-7
-3
-
(3)
4
1
(-2)
-7
-3
x⋅
(-2)
-7
-3
 = -2-7-3
(3)
4
1
(-2)
-7
-3
= 3⋅(-2)+4⋅(-7)+1⋅(-3) = -37
Setzt man diese beiden Ergebnisse in die ausmultiplizierte Normalenform ein, erhält man
-2-7-3+37=0
Also Koordinatenform:
E:-2-7-3 = -37

Wie kann man verschiedene Formen der Ebenengleichung ineinander umrechnen?

Klicke hier, um Ebenengleichungen ineinander umzurechnen.