Lagebeziehung von Geraden

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Line intersection Intersezione rette Intersection de lignes
Klicke an, wie die erste Gerade gegeben ist.
  • Parametergleichung

     g: x =    + r 

  • durch zwei Punkte gegeben

gleichsetzen mit Gerade

Klicke an, wie die zweite Gerade gegeben ist.
  • Parametergleichung

     g: x =    + r 

  • durch zwei Punkte gegeben

Worum geht es hier?

Auf einem Blatt Papier gibt es für Geraden drei Möglichkeiten, wie sie zueinander liegen können: Sie sind parallel, sie schneiden sich oder sie sind gleich. Im dreidimensionalen Raum gibt es noch eine weitere Möglichkeit: Die Geraden könnten nicht parallel sein, sich aber trotzdem nicht schneiden, weil die eine Gerade schräg über der anderen Geraden verläuft. Das nennt man dann "windschief".

Wie bekommt man heraus, wie Geraden zueinander liegen?

Am geschicktesten ist es, erst mal zu testen, ob die Richtungsvektoren der Geraden kollinear sind. Wenn ja, dann können die Geraden nur entweder parallel oder identisch sein. Wenn nein, rechnet man nach, ob es einen Schnittpunkt gibt. Sind die Richtungsvektoren nicht kollinear und die Geraden schneiden sich trotzdem nicht, dann sind die Geraden windschief.

Wie rechnet man nach, dass zwei Gerade sich schneiden?

Aufgabe: Schnittpunkte finden von
g: x=(3)+r(2)
41
12
 und 
g: x=(1)+r(2)
9-1
50
Die Richtungsvektoren sind nicht linear abhängig. Also schneiden sich die Geraden entweder oder sie sind windschief.

Vektorgleichung (bedenke, Parameter umzubenennen...):
(3)+r(2) =(1)+s(2)
419-1
1250

Das liefert das folgende Gleichungssystem:
3 +2r  = 1 +2s 
4 +r  = 9 -1s 
1 +2r  = 5  

So formt man das Gleichungssystem um:
2r -2s  = -2 
r +s  = 5 
2r   = 4 
 ( Variablen wurden nach links gebracht, Zahlen nach rechts. )
2r -2s  = -2 
r +s  = 5 
 -2s  = -6 
 ( das -2-fache der zweiten Zeile wurde zur dritten Zeile addiert )
2r -2s  = -2 
 2s  = 6 
 -2s  = -6 
 ( das -0,5-fache der ersten Zeile wurde zur zweiten Zeile addiert )
r -1s  = -1 
 2s  = 6 
 -2s  = -6 
 ( die erste Zeile wurde durch 2 geteilt )
r -1s  = -1 
 2s  = 6 
 0   = 0 
 ( das 1-fache der zweiten Zeile wurde zur dritten Zeile addiert )
r -1s  = -1 
 s  = 3 
 0   = 0 
 ( die zweite Zeile wurde durch 2 geteilt )


zweite Zeile:
  s   =  3

erste Zeile:
r  -1s   =  -1
Schon berechnete Variablen einsetzen:  
r  -1⋅3   =  -1
Nach r freistellen: r = 2

Werte in zweite Gerade einsetzen:
(1)
9
5
+3
(2)
-1
0
=
(7)
6
5

Schnittpunkt: ( 7 | 6 | 5 )


Wie rechnet man nach, dass zwei Geraden windschief sind?

Aufgabe: Schnittpunkte finden von
g: x=(1)+r(1)
30
41
 und 
g: x=(2)+r(1)
43
52
Die Richtungsvektoren sind nicht linear abhängig. Also schneiden sich die Geraden entweder oder sie sind windschief.

Vektorgleichung (bedenke, Parameter umzubenennen...):
(1)+r(1) =(2)+s(1)
3043
4152

Das liefert das folgende Gleichungssystem:
1 +r  = 2 +s 
3   = 4 +3s 
4 +r  = 5 +2s 

Das Gleichungssystem löst man so:
r -1s  = 1 
 -3s  = 1 
r -2s  = 1 
 ( Variablen wurden nach links gebracht, Zahlen nach rechts. )
r -1s  = 1 
 -3s  = 1 
 -1s  = 0 
 ( das -1-fache der ersten Zeile wurde zur dritten Zeile addiert )
r -1s  = 1 
 -3s  = 1 
 0   = -0,33 
 ( das -0,33-fache der zweiten Zeile wurde zur dritten Zeile addiert )


dritte Zeile:
0s  =  -0,33
Nicht möglich, da 0 mal irgendwas immer 0 und nie -0,33 ist.
Es gibt keine Schnittpunkte. Also sind die Geraden windschief.


Wie rechnet man nach, dass zwei Geraden parallel sind?

Aufgabe: Schnittpunkte finden von
g: x=(1)+r(2)
30
46
 und 
g: x=(2)+r(3)
50
29
Die Richtungsvektoren sind linear abhängig: 1,5⋅
(2)
0
6
=
(3)
0
9
Also sind die Geraden entweder identisch oder parallel.
Weiterer Lösungsweg: Stützvektor der hinteren Geraden in die vordere Gerade einsetzen.
Testen: Liegt der Punkt  ( 2 | 5 | 2 )  auf 
g: x=(1)+r(2)
30
46
?

Vektorgleichung:
(2) =(1)+r(2)
530
246

Das liefert das folgende Gleichungssystem:
2  = 1 +2r 
5  = 3  
2  = 4 +6r 

Das Gleichungssystem löst man so:
-2r  = -1 
0   = -2 
-6r  = 2 
 ( Variablen wurden nach links gebracht, Zahlen nach rechts. )
-2r  = -1 
0   = -2 
0   = 5 
 ( das -3-fache der ersten Zeile wurde zur dritten Zeile addiert )


dritte Zeile:
0r  =  5
Nicht möglich, da 0 mal irgendwas immer 0 und nie 5 ist.
Also liegt der Punkt nicht darauf.
Die Geraden haben einen Punkt nicht gemeinsam. Also sind sie nicht identisch, also parallel.



Wie rechnet man nach, dass zwei Geraden identisch sind?

Aufgabe: Schnittpunkte finden von
g: x=(1)+r(6)
30
29
 und 
g: x=(3)+r(8)
30
512
Die Richtungsvektoren sind linear abhängig: 1,33⋅
(6)
0
9
=
(8)
0
12
Also sind die Geraden entweder identisch oder parallel.
Weiterer Lösungsweg: Stützvektor der hinteren Geraden in die vordere Gerade einsetzen.
Testen: Liegt der Punkt  ( 3 | 3 | 5 )  auf 
g: x=(1)+r(6)
30
29
?

Vektorgleichung:
(3) =(1)+r(6)
330
529

Das liefert das folgende Gleichungssystem:
3  = 1 +6r 
3  = 3  
5  = 2 +9r 

So formt man das Gleichungssystem um:
-6r  = -2 
0   = 0 
-9r  = -3 
 ( Variablen wurden nach links gebracht, Zahlen nach rechts. )
-6r  = -2 
0   = 0 
0   = 0 
 ( das -1,5-fache der ersten Zeile wurde zur dritten Zeile addiert )
r  = 0,33 
0   = 0 
0   = 0 
 ( die erste Zeile wurde durch -6 geteilt )


erste Zeile:
r   =  0,33

Werte in Gerade einsetzen:
(1)
3
2
+0,33
(6)
0
9
=
(3)
3
5

Also liegt der Punkt (3|3|5) auf der Geraden.
Die Geraden haben die gleiche Richtung und einen Punkt gemeinsam. Also sind sie identisch.



Wie finde ich heraus, was für meine Geraden gilt?

Gib die Geraden doch einfach selbst ein. Mathepower rechnet es dir sofort kostenlos aus. Ohne Anmeldung oder so was.

Wie veranschaulicht man sich eine Gerade in der Vektorrechnung?

Für eine Gerade braucht man einen Stützvektor und einen Richtungsvektor. Der Stützvektor ist der Ortsvektor irgendeines Punktes auf der Geraden. Man hat also unendlich viele Möglichkeiten, welchen Vektor man als Stützvektor nimmt. Der Richtungsvektor geht von einem Punkt der Geraden zu irgendeinem anderen Punkt. Da die Gerade unendlich viele Punkte hat, hat man wiederum unendlich viele Möglichkeiten, welchen Vektor man als Richtungsvektor nimmt. Alle Richtungsvektoren einer Geraden sind kollinear.