Lagebeziehung von Geraden Rechner

Worum geht es hier?

Auf einem Blatt Papier gibt es f�r Geraden drei M�glichkeiten, wie sie zueinander liegen k�nnen: Sie sind parallel, sie schneiden sich oder sie sind gleich. Im dreidimensionalen Raum gibt es noch eine weitere M�glichkeit: Die Geraden k�nnten nicht parallel sein, sich aber trotzdem nicht schneiden, weil die eine Gerade schr�g �ber der anderen Geraden verl�uft. Das nennt man dann "windschief".

Wie bekommt man heraus, wie Geraden zueinander liegen?

Am geschicktesten ist es, erst mal zu testen, ob die Richtungsvektoren der Geraden kollinear sind. Wenn ja, dann k�nnen die Geraden nur entweder parallel oder identisch sein. Wenn nein, rechnet man nach, ob es einen Schnittpunkt gibt. Sind die Richtungsvektoren nicht kollinear und die Geraden schneiden sich trotzdem nicht, dann sind die Geraden windschief.

Wie rechnet man nach, dass zwei Gerade sich schneiden?

Aufgabe: Schnittpunkte finden von

g: x=	(	3	)	+r	(	2	)
		4				1
		1				2

und

g: x=	(	1	)	+r	(	2	)
		9				-1
		5				0

Die Richtungsvektoren sind nicht linear abh�ngig. Also schneiden sich die Geraden entweder oder sie sind windschief.

Vektorgleichung (bedenke, Parameter umzubenennen...):

(	3	)	+r	(	2	)	=	(	1	)	+s	(	2	)
	4				1				9				-1
	1				2				5				0

Das liefert das folgende Gleichungssystem:

3	+2r	=	1	+2s
4	+r	=	9	-1s
1	+2r	=	5

So formt man das Gleichungssystem um:

2r	-2s	=	-2
r	+s	=	5
2r		=	4

( Variablen wurden nach links gebracht, Zahlen nach rechts. )

2r	-2s	=	-2
r	+s	=	5
	-2s	=	-6

( das -2-fache der zweiten Zeile wurde zur dritten Zeile addiert )

2r	-2s	=	-2
	2s	=	6
	-2s	=	-6

( das -0,5-fache der ersten Zeile wurde zur zweiten Zeile addiert )

r	-1s	=	-1
	2s	=	6
	-2s	=	-6

( die erste Zeile wurde durch 2 geteilt )

r	-1s	=	-1
	2s	=	6
	0	=	0

( das 1-fache der zweiten Zeile wurde zur dritten Zeile addiert )

r	-1s	=	-1
	s	=	3
	0	=	0

( die zweite Zeile wurde durch 2 geteilt )

zweite Zeile:

erste Zeile:

-1s

-1

Schon berechnete Variablen einsetzen:

-1⋅3

-1

Nach r freistellen:

r = 2

Werte in zweite Gerade einsetzen:

(	1	)
	9
	5

(	2	)
	-1
	0

(	7	)
	6
	5

Schnittpunkt: ( 7 | 6 | 5 )

Wie rechnet man nach, dass zwei Geraden windschief sind?

Aufgabe: Schnittpunkte finden von

g: x=	(	1	)	+r	(	1	)
		3				0
		4				1

und

g: x=	(	2	)	+r	(	1	)
		4				3
		5				2

Die Richtungsvektoren sind nicht linear abh�ngig. Also schneiden sich die Geraden entweder oder sie sind windschief.

Vektorgleichung (bedenke, Parameter umzubenennen...):

(	1	)	+r	(	1	)	=	(	2	)	+s	(	1	)
	3				0				4				3
	4				1				5				2

Das liefert das folgende Gleichungssystem:

1	+r	=	2	+s
3		=	4	+3s
4	+r	=	5	+2s

Das Gleichungssystem l�st man so:

r	-1s	=	1
	-3s	=	1
r	-2s	=	1

( Variablen wurden nach links gebracht, Zahlen nach rechts. )

r	-1s	=	1
	-3s	=	1
	-1s	=	0

( das -1-fache der ersten Zeile wurde zur dritten Zeile addiert )

r	-1s	=	1
	-3s	=	1
	0	=	-0,33

( das -0,33-fache der zweiten Zeile wurde zur dritten Zeile addiert )

dritte Zeile:
0s = -0,33
Nicht m�glich, da 0 mal irgendwas immer 0 und nie -0,33 ist.
Es gibt keine Schnittpunkte. Also sind die Geraden windschief.

Wie rechnet man nach, dass zwei Geraden parallel sind?

Aufgabe: Schnittpunkte finden von

g: x=	(	1	)	+r	(	2	)
		3				0
		4				6

und

g: x=	(	2	)	+r	(	3	)
		5				0
		2				9

Die Richtungsvektoren sind linear abhängig:

1,5⋅

(	2	)
	0
	6

(	3	)
	0
	9

Also sind die Geraden entweder identisch oder parallel.
Weiterer L�sungsweg: St�tzvektor der hinteren Geraden in die vordere Gerade einsetzen.

Testen: Liegt der Punkt

( 2 | 5 | 2 )

auf

g: x=	(	1	)	+r	(	2	)
		3				0
		4				6

Vektorgleichung:

(	2	)	=	(	1	)	+r	(	2	)
	5				3				0
	2				4				6

Das liefert das folgende Gleichungssystem:

2	=	1	+2r
5	=	3
2	=	4	+6r

Das Gleichungssystem l�st man so:

-2r	=	-1
0	=	-2
-6r	=	2

( Variablen wurden nach links gebracht, Zahlen nach rechts. )

-2r	=	-1
0	=	-2
0	=	5

( das -3-fache der ersten Zeile wurde zur dritten Zeile addiert )

dritte Zeile:
0r = 5
Nicht m�glich, da 0 mal irgendwas immer 0 und nie 5 ist.
Also liegt der Punkt nicht darauf.

Die Geraden haben einen Punkt nicht gemeinsam. Also sind sie nicht identisch, also parallel.

Wie rechnet man nach, dass zwei Geraden identisch sind?

Aufgabe: Schnittpunkte finden von

g: x=	(	1	)	+r	(	6	)
		3				0
		2				9

und

g: x=	(	3	)	+r	(	8	)
		3				0
		5				12

Die Richtungsvektoren sind linear abhängig:

1,33⋅

(	6	)
	0
	9

(	8	)
	0
	12

Also sind die Geraden entweder identisch oder parallel.
Weiterer L�sungsweg: St�tzvektor der hinteren Geraden in die vordere Gerade einsetzen.

Testen: Liegt der Punkt

( 3 | 3 | 5 )

auf

g: x=	(	1	)	+r	(	6	)
		3				0
		2				9

Vektorgleichung:

(	3	)	=	(	1	)	+r	(	6	)
	3				3				0
	5				2				9

Das liefert das folgende Gleichungssystem:

3	=	1	+6r
3	=	3
5	=	2	+9r

So formt man das Gleichungssystem um:

-6r	=	-2
0	=	0
-9r	=	-3

( Variablen wurden nach links gebracht, Zahlen nach rechts. )

-6r	=	-2
0	=	0
0	=	0

( das -1,5-fache der ersten Zeile wurde zur dritten Zeile addiert )

r	=	0,33
0	=	0
0	=	0

( die erste Zeile wurde durch -6 geteilt )

erste Zeile:

0,33

Werte in Gerade einsetzen:

(	1	)
	3
	2

+0,33

(	6	)
	0
	9

(	3	)
	3
	5

Also liegt der Punkt (3|3|5) auf der Geraden.

Die Geraden haben die gleiche Richtung und einen Punkt gemeinsam. Also sind sie identisch.

Wie finde ich heraus, was f�r meine Geraden gilt?

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Wie veranschaulicht man sich eine Gerade in der Vektorrechnung?

F�r eine Gerade braucht man einen St�tzvektor und einen Richtungsvektor. Der St�tzvektor ist der Ortsvektor irgendeines Punktes auf der Geraden. Man hat also unendlich viele M�glichkeiten, welchen Vektor man als St�tzvektor nimmt. Der Richtungsvektor geht von einem Punkt der Geraden zu irgendeinem anderen Punkt. Da die Gerade unendlich viele Punkte hat, hat man wiederum unendlich viele M�glichkeiten, welchen Vektor man als Richtungsvektor nimmt. Alle Richtungsvektoren einer Geraden sind kollinear.