Che cosa è una derivata?
La derivata di una funzione in un punto x indica la pendenza del grafico della funzione in quel punto, cioè che pendenza ha la retta tangente al grafico nel punto (x|f(x)).
Esempio: la parabola
![f_f(x)=x^2](glbaumschreiben.php?gle=%3D%5B%5Bf%5D%5B%28+%29%5Bx%5D%5D%5D%5B%5E%5Bx%5D%5B2%5D%5D)
ha nel punto (1|1) la tangente
![2x](glbaumschreiben.php?gle=%5B2%5D%5Bx%5D)
-
![1](glbaumschreiben.php?gle=1)
, cioè pendenza
![2](glbaumschreiben.php?gle=2)
. La derivata della parabola nel punto x =
![1](glbaumschreiben.php?gle=1)
è, infatti, uguale a
![2](glbaumschreiben.php?gle=2)
.
Qual è la differenza tra la derivata e la funzione derivata?
La funzione derivata f'(x) di una funzione f(x) è una funzione che indica la pendenza per ogni valore di x. Ciò significa che, per calcolare la pendenza di f nel punto x, basta sostituire x nella funzione derivata . Nella pratica si utilizza spesso solo il termine derivata anziché quello di funzione derivata.
E come si calcola una derivata?
Prima di iniziare a usare le regole di derivazione, per trovare la derivata della funzione bisogna calcolare il rapporto incrementale singolarmente per ogni punto . Con le regole di derivazione le cose si semplificano: iniziamo con la derivata di funzioni di potenza
![f_f(x)=x^n](glbaumschreiben.php?gle=%3D%5B%5Bf%5D%5B%28+%29%5Bx%5D%5D%5D%5B%5E%5Bx%5D%5Bn%5D%5D)
. Essa è semplicemente
![f_f'(x)=nx^(n-1)](glbaumschreiben.php?gle=%3D%5B%5Bf%5D%5B%5B%27%5D%5B%28+%29%5Bx%5D%5D%5D%5D%5B%2A%5Bn%5D%5B%5E%5Bx%5D%5B%28+%29%5B-%5Bn%5D%5B1%5D%5D%5D%5D%5D)
. Con altre regole si riesce a calcolare la derivata di una qualsiasi funzione polinomiale, data dalla somma di prodotti di funzioni di potenza e numeri . Dobbiamo solo conoscere due regole:
- la regola della costante:
- la regola della somma: la derivata della funzione
è uguale a
Per funzioni più complesse servono altre regole come:
- la regola del prodotto: la derivata della funzione
è uguale a
- la regola del quoziente: la derivata della funzione
è uguale a
- la regola della catena: la derivata della funzione
è uguale a
A che serve trovare gli zeri di una funzione?
Gli zeri, o radici reali, di una funzione sono tra i più importanti punti del grafico. Nei punti di massimo o di minimo, detti punti estremanti di una funzione, la derivata è nulla (attenzione perché il viceversa non è valido: solo perché la derivata in un punto è
![0](glbaumschreiben.php?gle=0)
, non è detto che quel punto sia un punto estremante. Vedi il criterio delle derivate successive per saperne di più). In un punto di flesso la derivata seconda è zero. Si possono quindi scoprire tante informazioni sulla tua funzione calcolandone la sua derivata e trovandone gli zeri.