La forma del vertice di una funzione quadratica

Vertex form La forma del vertice Forme canonique نقطة الذروة शीर्ष रूप 顶点式 Topvorm Forma de vértice Forma vértice


Forma del vertice

Inserisci qui una funzione per rappresentarla nella forma del vertice.

Suggerimento: Inserisci come 3*x^2.






Cos'è la forma del vertice?

La forma del vertice è una forma particolare di una funzione quadratica. Nella forma del vertice si può vedere facilmente dove sono i massimi o i minimi della parabola (basta vedere il vertice): le coordinate x sono quelle all'interno della parentesi (attenzione al segno!) e le coordinate y sono date dal termine noto.

Come si trasforma una funzione nella forma del vertice?

Bisogna fare il così detto completamento del quadrato: per trovare il termine noto mancante si prende il coefficiente del termine con x e si divide per due e, infine, si riscrive eleva il risutlato del prodotto notevole tramite binomio al quadrato. Qui un esempio:


Mathepower lavora con questa funzione:

La forma del vertice della tua curva è quindi f(x)=1*(x+2)^2+-3
Il vertice è nel punto (-2|-3)


Qui vedi il grafico della tua funzione.
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  • Il vertice in (-2|-3)
Mathepower ha calcolato come segue:
f(x)=1*x^2+4*x+1
f(x)=x^2+4*x+(2)^2+-1*(2)^2+1( completamento del quadrato )
f(x)=(x+2)^2+-1*(2)^2+1( uso dei prodotti notevoli )
f(x)=(x+2)^2+-3( si semplifica )
f(x)=1*(x+2)^2+-3( si espande )

Come si vede, la coordinata x del vertice è proprio l'opposta a quella nella parentesi. Inoltre, si vede come il prodotto notevole deve essere usato al contrario per fare il completamento del quadrato: bisogna ottenere un prodotto notevole nel termine della funzione e ciò è possibile solo aggiungendo un numero specifico per il completamento del quadrato. Quindi si somma e sottrare uno stesso numero nel termine della funzione per poter ottenere il prodotto notevole.

Cosa succede se la variabile x^2 ha un coefficiente?

In questo caso bisogna estrarre il coefficiente dal completamento del quadrato. Esempio:


Mathepower lavora con questa funzione:
=3*x^2+-1*24*x+15

La forma del vertice della tua curva è quindi f(x)=3*(x+-4)^2+-33
Il vertice è nel punto (4|-33)


Qui vedi il grafico della tua funzione.
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  • Il vertice in (4|-33)
Mathepower ha calcolato come segue:
f(x)=3*x^2+-24*x+15
f(x)=3*(x^2+-8*x+5)( Si raccoglie la )
f(x)=3*(x^2+-8*x+(-4)^2+-1*(-4)^2+5)( completamento del quadrato )
f(x)=3*((x+-4)^2+-1*(-4)^2+5)( uso dei prodotti notevoli )
f(x)=3*((x+-4)^2+-11)( si semplifica )
f(x)=3*(x+-4)^2+-33( si espande )

Importante: prima si estrae e poi si fa il completamento del quadrato! Altrimenti non si potrebbe utilizzare il prodotto notevole. (Purtroppo molti studenti non ci fanno caso e spesso utilizzano la formula del prodotto notevole anche quando non si dovrebbe… Peccato che i termini matematici non possano urlare di dolore ma solo gli occhi dei professori vedendo certi orrori!)

E se prima del x^2 c'è un segno meno?

Allora bisogna semplicemente estrarre -1. In ogni caso se prima del x^2 c'è un segno negativo allora la parabola è capovolta con vertice verso l'alto. Esempio:


Mathepower lavora con questa funzione:
=-1*x^2+-1*3*x+2

La forma del vertice della tua curva è quindi f(x)=-1*(x+3/2)^2+17/4
Il vertice è nel punto (-3/2|17/4)


Qui vedi il grafico della tua funzione.
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  • Il vertice in (-1.5|4.25)
Mathepower ha calcolato come segue:
f(x)=-1*x^2+-3*x+2
f(x)=-1*(x^2+3*x+-2)( Si raccoglie la )
f(x)=-1*(x^2+3*x+(3/2)^2+-1*(3/2)^2+-2)( completamento del quadrato )
f(x)=-1*((x+3/2)^2+-1*(3/2)^2+-2)( uso dei prodotti notevoli )
f(x)=-1*((x+3/2)^2+1*-17/4)( si semplifica )
f(x)=-1*(x+3/2)^2+17/4( si espande )

E qual è la formula generica per la forma del vertice?

Questo lo può calcolare Mathepower. Inseriamo la funzione f_f(x)=ax^2+bx+c .


Mathepower lavora con questa funzione:

La forma del vertice della tua curva è quindi f(x)=1*a*(x+b/(2*a))^2+(1*a*c+-0.25*b^2)/a
Il vertice è nel punto ((-1*b)/(2*a)|(1*a*c+-0.25*b^2)/a)


Mathepower ha calcolato come segue:
f(x)=1*a*x^2+1*b*x+1*c
f(x)=1*a*(x^2+b/a*x+c/a)( Si raccoglie la )
f(x)=1*a*(x^2+b/a*x+(b/(2*a))^2+-1*(b/(2*a))^2+c/a)( completamento del quadrato )
f(x)=1*a*((x+b/(2*a))^2+-1*(b/(2*a))^2+c/a)( uso dei prodotti notevoli )
f(x)=1*a*((x+b/(2*a))^2+1*(1*a*c+-0.25*b^2)/a^2)( si semplifica )
f(x)=1*a*(x+b/(2*a))^2+(1*a*c+-0.25*b^2)/a( si espande )

Posso vedere altri esempi?

Certo, Mathepower è qui per questo. Inserisci pure il tuo esercizio e sarà risolto.