La forma canonica di una funzione quadratica


Forma del vertice

Inserisci qui una funzione per rappresentarla nella forma del vertice.

Suggerimento: Inserisci come 3*x^2.






Cos'è la forma del vertice?

La forma del vertice è una forma particolare di una funzione quadratica. Nella forma del vertice si può vedere facilmente dove sono i massimi o i minimi della parabola (basta vedere il vertice): le coordinate x sono quelle all'interno della parentesi (attenzione al segno!) e le coordinate y sono date dal termine noto.

Come si trasforma una funzione nella forma del vertice?

Bisogna fare il così detto completamento del quadrato: per trovare il termine noto mancante si prende il coefficiente del termine con x e si divide per due e, infine, si riscrive eleva il risutlato del prodotto notevole tramite binomio al quadrato. Qui un esempio:


Mathepower lavora con questa funzione:

La forma del vertice della tua curva è quindi f(x)=1*(x+2)^2+-3
Il vertice è nel punto (-2|-3)

Qui vedi il grafico della tua funzione.
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  • Il vertice in (-2|-3)
Mathepower ha calcolato come segue:
f(x)=1*x^2+4*x+1
f(x)=x^2+4*x+(2)^2+-1*(2)^2+1( completamento del quadrato )
f(x)=(x+2)^2+-1*(2)^2+1( uso dei prodotti notevoli )
f(x)=(x+2)^2+-3( si semplifica )
f(x)=1*(x+2)^2+-3( si espande )

Come si vede, la coordinata x del vertice è proprio l'opposta a quella nella parentesi. Inoltre, si vede come il prodotto notevole deve essere usato al contrario per fare il completamento del quadrato: bisogna ottenere un prodotto notevole nel termine della funzione e ciò è possibile solo aggiungendo un numero specifico per il completamento del quadrato. Quindi si somma e sottrare uno stesso numero nel termine della funzione per poter ottenere il prodotto notevole.

Cosa succede se la variabile x^2 ha un coefficiente?

In questo caso bisogna estrarre il coefficiente dal completamento del quadrato. Esempio:


Mathepower lavora con questa funzione:
=3*x^2+-1*24*x+15

La forma del vertice della tua curva è quindi f(x)=3*(x+-4)^2+-33
Il vertice è nel punto (4|-33)

Qui vedi il grafico della tua funzione.
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  • Il vertice in (4|-33)
Mathepower ha calcolato come segue:
f(x)=3*x^2+-24*x+15
f(x)=3*(x^2+-8*x+5)( Si raccoglie la )
f(x)=3*(x^2+-8*x+(-4)^2+-1*(-4)^2+5)( completamento del quadrato )
f(x)=3*((x+-4)^2+-1*(-4)^2+5)( uso dei prodotti notevoli )
f(x)=3*((x+-4)^2+-11)( si semplifica )
f(x)=3*(x+-4)^2+-33( si espande )

Importante: prima si estrae e poi si fa il completamento del quadrato! Altrimenti non si potrebbe utilizzare il prodotto notevole. (Purtroppo molti studenti non ci fanno caso e spesso utilizzano la formula del prodotto notevole anche quando non si dovrebbe… Peccato che i termini matematici non possano urlare di dolore ma solo gli occhi dei professori vedendo certi orrori!)

E se prima del x^2 c'è un segno meno?

Allora bisogna semplicemente estrarre -1. In ogni caso se prima del x^2 c'è un segno negativo allora la parabola è capovolta con vertice verso l'alto. Esempio:


Mathepower lavora con questa funzione:
=-1*x^2+-1*3*x+2

La forma del vertice della tua curva è quindi f(x)=-1*(x+3/2)^2+17/4
Il vertice è nel punto (-3/2|17/4)

Qui vedi il grafico della tua funzione.
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  • Il vertice in (-1.5|4.25)
Mathepower ha calcolato come segue:
f(x)=-1*x^2+-3*x+2
f(x)=-1*(x^2+3*x+-2)( Si raccoglie la )
f(x)=-1*(x^2+3*x+(3/2)^2+-1*(3/2)^2+-2)( completamento del quadrato )
f(x)=-1*((x+3/2)^2+-1*(3/2)^2+-2)( uso dei prodotti notevoli )
f(x)=-1*((x+3/2)^2+1*-17/4)( si semplifica )
f(x)=-1*(x+3/2)^2+17/4( si espande )

E qual è la formula generica per la forma del vertice?

Questo lo può calcolare Mathepower. Inseriamo la funzione f_f(x)=ax^2+bx+c .


Mathepower lavora con questa funzione:

La forma del vertice della tua curva è quindi f(x)=1*a*(x+b/(2*a))^2+(1*a*c+-0.25*b^2)/a
Il vertice è nel punto ((-1*b)/(2*a)|(1*a*c+-0.25*b^2)/a)

Mathepower ha calcolato come segue:
f(x)=1*a*x^2+1*b*x+1*c
f(x)=1*a*(x^2+b/a*x+c/a)( Si raccoglie la )
f(x)=1*a*(x^2+b/a*x+(b/(2*a))^2+-1*(b/(2*a))^2+c/a)( completamento del quadrato )
f(x)=1*a*((x+b/(2*a))^2+-1*(b/(2*a))^2+c/a)( uso dei prodotti notevoli )
f(x)=1*a*((x+b/(2*a))^2+1*(1*a*c+-0.25*b^2)/a^2)( si semplifica )
f(x)=1*a*(x+b/(2*a))^2+(1*a*c+-0.25*b^2)/a( si espande )

Posso vedere altri esempi?

Certo, Mathepower è qui per questo. Inserisci pure il tuo esercizio e sarà risolto.