Topvorm


Topvorm

Voer de term van de functie in die als topvorm moet worden herschreven.

Hint: Voer in als 3*x^2.






Wat is de topvorm?

De topvorm is een speciale notatie van de kwadratische functie. Bij de topvorm kunt u bijzonder snel zien waar het hoogste of laagste punt (de top) van een parabool is: het getal tussen haakjes geeft (let op: uitgezonderd het teken!) de x-coördinaat van de top, het achterste getal is de y-coördinaat.

Hoe herschrijf je een functie naar de topvorm?

Om dit te doen, moet je het zogenaamde kwadraat afsplitsen uitvoeren: neem het getal vóór de x gedeeld door 2. Van dit resultaat neem je weer het kwadraat. Hier is een voorbeeld:


Mathepower werkt met deze functie:

Dus de topvorm van je functie luidt f(x)=1*(x+2)^2+-3
De top is bij (-2|-3)

Dit is de grafiek van uw functie.
Dein Browser unterstützt den HTML-Canvas-Tag nicht. Hol dir einen neuen. :P
  • top bij (-2|-3)
Dit is wat Mathepower heeft berekend:
f(x)=1*x^2+4*x+1
f(x)=x^2+4*x+(2)^2+-1*(2)^2+1( kwadraatafsplitsen )
f(x)=(x+2)^2+-1*(2)^2+1( merkwaardig product gebruiken )
f(x)=(x+2)^2+-3( vereenvoudigen )
f(x)=1*(x+2)^2+-3( haakjes wegwerken )

Zoals je kunt zien, is de x-coördinaat van de top precies het negatieve van het getal tussen haakjes. Eveneens moet je er rekening mee houden dat men eigenlijk de binominale formule 'achterwaarts' moet gebruiken: men moet vanuit de functieterm een binominale formule construeren. Dit is echter niet altijd mogelijk, maar alleen als het juiste getal (de kwadraat afsplitsing) er is. Dus je splitst gewoon het kwadraat af en trekt het er gelijk weer af.

Wat als er een getal voor de x² staat?

Dan moet je ze eerst wegwerken. Bijvoorbeeld:


Mathepower werkt met deze functie:
=3*x^2+-1*24*x+15

Dus de topvorm van je functie luidt f(x)=3*(x+-4)^2+-33
De top is bij (4|-33)

Dit is de grafiek van uw functie.
Dein Browser unterstützt den HTML-Canvas-Tag nicht. Hol dir einen neuen. :P
  • top bij (4|-33)
Dit is wat Mathepower heeft berekend:
f(x)=3*x^2+-24*x+15
f(x)=3*(x^2+-8*x+5)( buiten haakjes brengen )
f(x)=3*(x^2+-8*x+(-4)^2+-1*(-4)^2+5)( kwadraatafsplitsen )
f(x)=3*((x+-4)^2+-1*(-4)^2+5)( merkwaardig product gebruiken )
f(x)=3*((x+-4)^2+-11)( vereenvoudigen )
f(x)=3*(x+-4)^2+-33( haakjes wegwerken )

Belangrijk: werk eerst weg en splits dan het kwadraat af! Anders kan de binominale formule niet achterwaarts worden toegepast. (Helaas denken velen niet over deze subtiliteiten na en gebruiken ze de binominale formule nog steeds achterwaarts, zelfs als hij niet werkt ... Jammer dat termen niet 'AU' kunnen roepen, maar alleen wiskundeleraren als ze zo'n berekening bekijken.)

En als er een minteken voor de x² staat?

Dan moet je -1 uitsluiten. Trouwens, wanneer er een negatieve factor voor x² staat, is de parabool onderaan open. Bijvoorbeeld:


Mathepower werkt met deze functie:
=-1*x^2+-1*3*x+2

Dus de topvorm van je functie luidt f(x)=-1*(x+3/2)^2+17/4
De top is bij (-3/2|17/4)

Dit is de grafiek van uw functie.
Dein Browser unterstützt den HTML-Canvas-Tag nicht. Hol dir einen neuen. :P
  • top bij (-1.5|4.25)
Dit is wat Mathepower heeft berekend:
f(x)=-1*x^2+-3*x+2
f(x)=-1*(x^2+3*x+-2)( buiten haakjes brengen )
f(x)=-1*(x^2+3*x+(3/2)^2+-1*(3/2)^2+-2)( kwadraatafsplitsen )
f(x)=-1*((x+3/2)^2+-1*(3/2)^2+-2)( merkwaardig product gebruiken )
f(x)=-1*((x+3/2)^2+1*-17/4)( vereenvoudigen )
f(x)=-1*(x+3/2)^2+17/4( haakjes wegwerken )

En wat is de topvorm in het algemeen?

Geen probleem, Mathepower kan het uitrekenen. Laten we eens de functie f_f(x)=ax^2+bx+c invoeren.


Mathepower werkt met deze functie:

Dus de topvorm van je functie luidt f(x)=1*a*(x+b/(2*a))^2+(1*a*c+-0.25*b^2)/a
De top is bij ((-1*b)/(2*a)|(1*a*c+-0.25*b^2)/a)

Dit is wat Mathepower heeft berekend:
f(x)=1*a*x^2+1*b*x+1*c
f(x)=1*a*(x^2+b/a*x+c/a)( buiten haakjes brengen )
f(x)=1*a*(x^2+b/a*x+(b/(2*a))^2+-1*(b/(2*a))^2+c/a)( kwadraatafsplitsen )
f(x)=1*a*((x+b/(2*a))^2+-1*(b/(2*a))^2+c/a)( merkwaardig product gebruiken )
f(x)=1*a*((x+b/(2*a))^2+1*(1*a*c+-0.25*b^2)/a^2)( vereenvoudigen )
f(x)=1*a*(x+b/(2*a))^2+(1*a*c+-0.25*b^2)/a( haakjes wegwerken )

Kan ik meer voorbeelden zien?

Tuurlijk. Dit is Mathepower. Voer hierboven jouw voorbeeld in en het wordt berekend.