顶点式


顶点式

在此输入需要代入顶点式的方程：

提示：输入 写作 3*x^2.






什么是顶点式？

顶点式是一种特殊的二次方程形式。从顶点式中，可以轻易地 找到函数抛物线的最大值或最小值（顶点）位置：括号里的数值（要注意 带上数值前的符号）给出了顶点的 x-坐标，式子最末的数字给出了顶点的 y-坐标。

如何将方程转化为顶点式？

我们需要凑平方：将 x 前的数字除以二，再 将刚才的结果平方。这有一个例题：


Mathepower有这些功能：

所以，函数的顶点式是： f(x)=1*(x+2)^2+-3
顶点位于 (-2|-3)

这是方程的图像
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  • 顶点 在 (-2|-3)
Mathepower是这样计算的：
f(x)=1*x^2+4*x+1
f(x)=x^2+4*x+(2)^2+-1*(2)^2+1( 凑平方 )
f(x)=(x+2)^2+-1*(2)^2+1( 使用二项式公式 )
f(x)=(x+2)^2+-3( 简化 )
f(x)=1*(x+2)^2+-3( 展开 )

如你所见，顶点的 x-轴坐标等于括号里的数字，只不过需要改变符号。而且， 从这个计算可以看出，我们只需要反向运用二项式公式：从函数式中 凑成一个二项式。 这只在数值合适的情况下成立（数值可以凑成一个平方式）。 同时只需要简单的将右边的数字相加减。

如果在 x^2 之前有数字呢？

我们就要将这个数字放在括号之外。比如：


Mathepower有这些功能：
=3*x^2+-1*24*x+15

所以，函数的顶点式是： f(x)=3*(x+-4)^2+-33
顶点位于 (4|-33)

这是方程的图像
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  • 顶点 在 (4|-33)
Mathepower是这样计算的：
f(x)=3*x^2+-24*x+15
f(x)=3*(x^2+-8*x+5)( 拆分 )
f(x)=3*(x^2+-8*x+(-4)^2+-1*(-4)^2+5)( 凑平方 )
f(x)=3*((x+-4)^2+-1*(-4)^2+5)( 使用二项式公式 )
f(x)=3*((x+-4)^2+-11)( 简化 )
f(x)=3*(x+-4)^2+-33( 展开 )

先将 x^2 前的系数放在括号外，再凑平方式，这一点很重要。否则会造成严重的错误。 （可惜的是，很多同学注意不到这一点，明明不可能， 明明是错误的， 还是直接运用了二项式公式… 更可惜的是，式子不会“嗷嗷”的哭，只有数学老师在看到这样错误的计算后才会！）

如果在 x^2 前有负号呢？

只要将 -1 放在括号外。顺便：只要是 x^2 前是一个负的系数，则抛物线的开口朝下。例如：


Mathepower有这些功能：
=-1*x^2+-1*3*x+2

所以，函数的顶点式是： f(x)=-1*(x+3/2)^2+17/4
顶点位于 (-3/2|17/4)

这是方程的图像
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  • 顶点 在 (-1.5|4.25)
Mathepower是这样计算的：
f(x)=-1*x^2+-3*x+2
f(x)=-1*(x^2+3*x+-2)( 拆分 )
f(x)=-1*(x^2+3*x+(3/2)^2+-1*(3/2)^2+-2)( 凑平方 )
f(x)=-1*((x+3/2)^2+-1*(3/2)^2+-2)( 使用二项式公式 )
f(x)=-1*((x+3/2)^2+1*-17/4)( 简化 )
f(x)=-1*(x+3/2)^2+17/4( 展开 )

顶点式的一般形式是怎样的呢？

对Mathepower来说，完全不是问题。在这里输入你的函数 f_f(x)=ax^2+bx+c 。


Mathepower有这些功能：

所以，函数的顶点式是： f(x)=1*a*(x+b/(2*a))^2+(1*a*c+-0.25*b^2)/a
顶点位于 ((-1*b)/(2*a)|(1*a*c+-0.25*b^2)/a)

Mathepower是这样计算的：
f(x)=1*a*x^2+1*b*x+1*c
f(x)=1*a*(x^2+b/a*x+c/a)( 拆分 )
f(x)=1*a*(x^2+b/a*x+(b/(2*a))^2+-1*(b/(2*a))^2+c/a)( 凑平方 )
f(x)=1*a*((x+b/(2*a))^2+-1*(b/(2*a))^2+c/a)( 使用二项式公式 )
f(x)=1*a*((x+b/(2*a))^2+1*(1*a*c+-0.25*b^2)/a^2)( 简化 )
f(x)=1*a*(x+b/(2*a))^2+(1*a*c+-0.25*b^2)/a( 展开 )

可以给我看更多的例子吗？

当然，输入你自己的习题，Mathepower给你解答。