La ricostruzione di funzioni dal grafico

Finding functions Ricostruzione di funzioni tude graphique de fonctions إيجاد الدالات कार्य ढूँढना 函数方程确定 Functies vinden Encontrar funciones Encontrando as funes


Si cerca la funzione

Grado della funzione:
1 2 3 4 5

( Il grado il pi alto esponente della x. )


Simmetrie:
simmetrica rispetto all'asse y
simmetrica rispetto all'origine


Intersezione con l'asse y



Zeri / massimi / minimi / punti di flesso:
in x=
in x=
in x=
in x=
in x=


Punti caratteristici:
in |)
in |)
in |)
in (|)
in (|)


Pendenza nei punti:
Pendenza in x=
Pendenza in x=
Pendenza in

Cosa sono gli esercizi di ricostruzione?

Gli esercizi di ricostruzione sono l'opposto dello studio di funzione. Nello studio di funzione si ha una funzione data e si cercano gli zeri, i punti stazionari e critici. In un esercizio di ricostruzione si hanno dei dati del grafico della funzione e si cerca la funzione che rispetta queste condizioni.

Come si ricostruisce una funzione?

Per prima cosa si trovano le equazioni e si risolvono. Questo permette di ottenere i coefficienti della funzione. Ecco un esempio: Si voglia trovare una funzione di terzo grado che ha un minimo nel punto (1|-4) e un massimo in (-1|3).


Stiamo cercando una funzione del tipo:
funzione quadratica
punto di massimo in (-1|3)
punto di minimo in (1|-4)

Mathepower ha trovato la seguente funzione:
1*f(x)=1*x^2+-3.5*x+-1.5
Qui vedi il grafico della tua funzione.
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  • Zeri in -0.386; 3.886
  • Intersezione con l'asse y in (0|-1.5)
  • massimi/minimi in (1.75|-4.563)
  • Punti di flesso obliqui

Mathepower ha cos calcolato:
f(x)=1*a*x^2+1*b*x+1*c
f'(x)=2*a*x+1*b
f''(x)=2*a

Il punto (-1|3) porta all'equazione :
f(-1)=3
1*a*-1^2+1*b*-1+1*c=3
semplificato :
1a-1b+1c=3

Il punto (1|-4) porta all'equazione :
f(1)=-4
1*a*1^2+1*b*1+1*c=-4
semplificato :
1a+1b+1c=-4

In totale si ottiene il seguente sistema di equazioni :
  a   -1b   +c    = 3 
  a   +b   +c    = -4 

Il sistema di equazioni si risolve cos:
  a   -1b   +c    = 3 
  a   +b   +c    = -4 
  a   -1b   +c    = 3 
     2b       = -7 
 ( -1 volte l'equazione 1 stata sommata all'equazione 2 )
  a   -1b   +c    = 3 
     b       = -3,5 
 ( L'equazione 2 stata divisa per 2 )

2 equazione: b+0c = -3,5
c scelto opportunamente
Si risolve per b : :   b = 0c -3,5

1 equazione:
a  -1b  +c   =  3
Si sostituiscono le variabili gi calcolate:   
a  -1⋅(0c -3,5)  +⋅1c    =  3
Si risolve per a : a = -1c -0,5
Poniamo a uguale a 1.
Significa che c uguale a -1,5

Sostituendo si vede che la funzione uguale a f(x)=1*1*x^2+1*-3.5*x+1*-1.5 ist.



Come si trova una funzione dati dei punti?

La regola generale che per n punti esiste sempre una funzione di grado n-1 passante per essi. quindi facile trovare una funzione ad esempio di terzo grado passante per i quattro punti (-1|3), (0|2), (1|1) e (2|4):


Stiamo cercando una funzione del tipo:
funzione di grado 3
Il punto in (-1|3)
Il punto in (0|2)
Il punto in (1|1)
Il punto in (2|4)

Mathepower ha trovato la seguente funzione:
1*f(x)=0.667*x^3+-1.667*x+2
Qui vedi il grafico della tua funzione.
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  • Zeri in -2
  • Intersezione con l'asse y in (0|2)
  • massimi/minimi in (-0.913|3.014); (0.913|0.986)
  • Punti di flesso obliqui in (0|2)

Mathepower ha cos calcolato:
f(x)=1*a*x^3+1*b*x^2+1*c*x+1*d
f'(x)=3*a*x^2+2*b*x+1*c
f''(x)=6*a*x+2*b

Il punto (-1|3) porta all'equazione :
f(-1)=3
1*a*-1^3+1*b*-1^2+1*c*-1+1*d=3
semplificato :
-1a+1b-1c+1d=3

Il punto (0|2) porta all'equazione :
f(0)=2
1*a*0^3+1*b*0^2+1*c*0+1*d=2
semplificato :
0a+0b+0c+1d=2

Il punto (1|1) porta all'equazione :
f(1)=1
1*a*1^3+1*b*1^2+1*c*1+1*d=1
semplificato :
1a+1b+1c+1d=1

Il punto (2|4) porta all'equazione :
f(2)=4
1*a*2^3+1*b*2^2+1*c*2+1*d=4
semplificato :
8a+4b+2c+1d=4

In totale si ottiene il seguente sistema di equazioni :
  -1a   +b   -1c   +d    = 3 
           d    = 2 
  a   +b   +c   +d    = 1 
  8a   +4b   +2c   +d    = 4 

Il sistema di equazioni si risolve cos:
  -1a   +b   -1c   +d    = 3 
           d    = 2 
  a   +b   +c   +d    = 1 
  8a   +4b   +2c   +d    = 4 
  -1a   +b   -1c   +d    = 3 
           d    = 2 
  a   +b   +c   +d    = 1 
     -4b   -6c   -7d    = -4 
 ( -8 volte l'equazione 3 stata sommata all'equazione 4 )
  -1a   +b   -1c   +d    = 3 
           d    = 2 
     2b      +2d    = 4 
     -4b   -6c   -7d    = -4 
 ( 1 volte l'equazione 1 stata sommata all'equazione 3 )
  a   -1b   +c   -1d    = -3 
           d    = 2 
     2b      +2d    = 4 
     -4b   -6c   -7d    = -4 
 ( L'equazione 1 stata divisa per -1 )
  a   -1b   +c   -1d    = -3 
           d    = 2 
     2b      +2d    = 4 
        -6c   -3d    = 4 
 ( 2 volte l'equazione 3 stata sommata all'equazione 4 )
  a   -1b   +c   -1d    = -3 
     2b      +2d    = 4 
           d    = 2 
        -6c   -3d    = 4 
 ( l'equazione 3 stata scambiata con l'equazione 2 )
  a   -1b   +c   -1d    = -3 
     b      +d    = 2 
           d    = 2 
        -6c   -3d    = 4 
 ( L'equazione 2 stata divisa per 2 )
  a   -1b   +c   -1d    = -3 
     b      +d    = 2 
        -6c   -3d    = 4 
           d    = 2 
 ( l'equazione 4 stata scambiata con l'equazione 3 )
  a   -1b   +c   -1d    = -3 
     b      +d    = 2 
        c   +0,5d    = -0,667 
           d    = 2 
 ( L'equazione 3 stata divisa per -6 )


4 equazione:
      d   =  2

3 equazione:
    c  +0,5d   =  -0,667
Si sostituiscono le variabili gi calcolate:   
    c  +0,5⋅2   =  -0,667
Si risolve per c : c = -1,667

2 equazione:
  b    +d   =  2
Si sostituiscono le variabili gi calcolate:   
  b    +⋅2   =  2
Si risolve per b : b = 0

1 equazione:
a  -1b  +c  -1d   =  -3
Si sostituiscono le variabili gi calcolate:   
a  -1⋅0  +⋅(-1,667)  -1⋅2   =  -3
Si risolve per a : a = 0,667

Sostituendo si vede che la funzione uguale a f(x)=1*0.667*x^3+1*0*x^2+1*-1.667*x+1*2 ist.



Ma come si trova una funzione dato un punto di flesso?

Poich data una condizione in pi, cio il punto di flesso, si ottengono pi equazioni: la prima l'appartenenza del punto all'equazione della funzione, la seconda l'appartenenza del punto alla derivata prima, che deve dare 0. Qui vediamo un esempio di funzione di terzo grado che ha un punto di flesso in (1|3):


Stiamo cercando una funzione del tipo:
funzione di grado 3
zero in 2
zero in 4
punto di flesso obliquo in (1|3)

Mathepower ha trovato la seguente funzione:
1*f(x)=1*c*x+1*d
Qui vedi il grafico della tua funzione.
Dein Browser untersttzt den HTML-Canvas-Tag nicht. Hol dir einen neuen. :P
  • Zeri
  • Intersezione con l'asse y in (0|0)
  • massimi/minimi
  • Punti di flesso obliqui

Mathepower ha cos calcolato:
f(x)=1*a*x^3+1*b*x^2+1*c*x+1*d
f'(x)=3*a*x^2+2*b*x+1*c
f''(x)=6*a*x+2*b

Il punto (1|3) porta all'equazione :
f(1)=3
1*a*1^3+1*b*1^2+1*c*1+1*d=3
semplificato :
1a+1b+1c+1d=3

In totale si ottiene il seguente sistema di equazioni :
  a   +b   +c   +d    = 3 

Il sistema di equazioni si risolve cos:
  a   +b   +c   +d    = 3 

1 equazione: c+1d = 3
d scelto opportunamente
Si risolve per c : :   c = -1d +3

Sostituendo si vede che la funzione uguale a f(x)=1*0*x^3+1*0*x^2+1*c*x+1*d ist.



Como posso applicare questo al mio esercizio?

Inserisci pure il tuo esercizio qui sopra e Mathepower ti mostra come risolverlo, oppure inventalo semplicemente e osserva cosa fa Mathepower.