Cosa sono gli esercizi di ricostruzione?
Gli esercizi di ricostruzione sono l'opposto dello studio di funzione. Nello studio di funzione si ha una funzione data e si cercano gli zeri, i punti stazionari e critici. In un esercizio di ricostruzione si hanno dei dati del grafico della funzione e si cerca la funzione che rispetta queste condizioni.
Come si ricostruisce una funzione?
Per prima cosa si trovano le equazioni e si risolvono. Questo permette di ottenere i coefficienti della funzione. Ecco un esempio: Si voglia trovare una funzione di terzo grado che ha un minimo nel punto (1|-4) e un massimo in (-1|3).
Stiamo cercando una funzione del tipo: funzione quadratica punto di massimo in (-1|3) punto di minimo in (1|-4)
Mathepower ha trovato la seguente funzione:
![1*f(x)=1*x^2+-3.5*x+-1.5](glbaumschreiben.php?gle=%3D%5B%5Bf%5D%5B%28+%29%5Bx%5D%5D%5D%5B-%5B%5E%5Bx%5D%5B2%5D%5D%5B-%5B%5B3.5%5D%5Bx%5D%5D%5B1.5%5D%5D%5D) Qui vedi il grafico della tua funzione.
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- Zeri in -0.386; 3.886
- Intersezione con l'asse y in (0|-1.5)
- massimi/minimi in (1.75|-4.563)
- Punti di flesso obliqui
Mathepower ha così calcolato:
![f(x)=1*a*x^2+1*b*x+1*c](glbaumschreiben.php?gle=%3D%5B%5Bf%5D%5B%28+%29%5Bx%5D%5D%5D%5B%2B%5B%2A%5Ba%5D%5B%5E%5Bx%5D%5B2%5D%5D%5D%5B%2B%5B%2A%5Bb%5D%5Bx%5D%5D%5Bc%5D%5D%5D)
![f'(x)=2*a*x+1*b](glbaumschreiben.php?gle=%3D%5B%5Bf%5D%5B%5B%27%5D%5B%28+%29%5Bx%5D%5D%5D%5D%5B%2B%5B%5B2%5D%5B%2A%5Ba%5D%5Bx%5D%5D%5D%5Bb%5D%5D)
![f''(x)=2*a](glbaumschreiben.php?gle=%3D%5B%5Bf%5D%5B%5B%27%5D%5B%5B%27%5D%5B%28+%29%5Bx%5D%5D%5D%5D%5D%5B%5B2%5D%5Ba%5D%5D)
Il punto (-1|3) porta all'equazione :
![f(-1)=3](glbaumschreiben.php?gle=%3D%5B%5Bf%5D%5B%28+%29%5B-1%5D%5D%5D%5B3%5D)
![1*a*-1^2+1*b*-1+1*c=3](glbaumschreiben.php?gle=%3D%5B%2B%5B%2A%5Ba%5D%5B%5E%5B%28+%29%5B-1%5D%5D%5B2%5D%5D%5D%5B%2B%5B%2A%5Bb%5D%5B%28+%29%5B-1%5D%5D%5D%5Bc%5D%5D%5D%5B3%5D) semplificato : 1a-1b+1c=3
Il punto (1|-4) porta all'equazione :
![f(1)=-4](glbaumschreiben.php?gle=%3D%5B%5Bf%5D%5B%28+%29%5B1%5D%5D%5D%5B-4%5D)
![1*a*1^2+1*b*1+1*c=-4](glbaumschreiben.php?gle=%3D%5B%2B%5B%2A%5Ba%5D%5B%5E%5B1%5D%5B2%5D%5D%5D%5B%2B%5B%2A%5Bb%5D%5B1%5D%5D%5Bc%5D%5D%5D%5B-4%5D) semplificato : 1a+1b+1c=-4
In totale si ottiene il seguente sistema di equazioni :
a | -1b | +c | = | 3 | a | +b | +c | = | -4 |
Il sistema di equazioni si risolve così:
a | -1b | +c | = | 3 | a | +b | +c | = | -4 |
| | | ( -1 volte l'equazione 1 è stata sommata all'equazione 2 )
| | ( L'equazione 2 è stata divisa per 2 ) |
2 ° equazione: | b+0c = -3,5 | c è scelto opportunamente | Si risolve per b : : | b = 0c -3,5 |
1 ° equazione: | | Si sostituiscono le variabili già calcolate: | | Si risolve per a : | a = -1c -0,5 | Poniamo a uguale a 1. Significa che c è uguale a -1,5
Sostituendo si vede che la funzione è uguale a ist.
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Come si trova una funzione dati dei punti?
La regola generale è che per n punti esiste sempre una funzione di grado
![n-1](glbaumschreiben.php?gle=-%5Bn%5D%5B1%5D)
passante per essi. È quindi facile trovare una funzione ad esempio di terzo grado passante per i quattro punti (-1|3), (0|2), (1|1) e (2|4):
Stiamo cercando una funzione del tipo: funzione di grado 3 Il punto in (-1|3) Il punto in (0|2) Il punto in (1|1) Il punto in (2|4)
Mathepower ha trovato la seguente funzione:
![1*f(x)=0.667*x^3+-1.667*x+2](glbaumschreiben.php?gle=%3D%5B%5Bf%5D%5B%28+%29%5Bx%5D%5D%5D%5B-%5B%2A%5B0.667%5D%5B%5E%5Bx%5D%5B3%5D%5D%5D%5B%2B%5B%5B1.667%5D%5Bx%5D%5D%5B2%5D%5D%5D) Qui vedi il grafico della tua funzione.
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- Zeri in -2
- Intersezione con l'asse y in (0|2)
- massimi/minimi in (-0.913|3.014); (0.913|0.986)
- Punti di flesso obliqui in (0|2)
Mathepower ha così calcolato:
![f(x)=1*a*x^3+1*b*x^2+1*c*x+1*d](glbaumschreiben.php?gle=%3D%5B%5Bf%5D%5B%28+%29%5Bx%5D%5D%5D%5B%2B%5B%2A%5Ba%5D%5B%5E%5Bx%5D%5B3%5D%5D%5D%5B%2B%5B%2A%5Bb%5D%5B%5E%5Bx%5D%5B2%5D%5D%5D%5B%2B%5B%2A%5Bc%5D%5Bx%5D%5D%5Bd%5D%5D%5D%5D)
![f'(x)=3*a*x^2+2*b*x+1*c](glbaumschreiben.php?gle=%3D%5B%5Bf%5D%5B%5B%27%5D%5B%28+%29%5Bx%5D%5D%5D%5D%5B%2B%5B%5B3%5D%5B%2A%5Ba%5D%5B%5E%5Bx%5D%5B2%5D%5D%5D%5D%5B%2B%5B%5B2%5D%5B%2A%5Bb%5D%5Bx%5D%5D%5D%5Bc%5D%5D%5D)
![f''(x)=6*a*x+2*b](glbaumschreiben.php?gle=%3D%5B%5Bf%5D%5B%5B%27%5D%5B%5B%27%5D%5B%28+%29%5Bx%5D%5D%5D%5D%5D%5B%2B%5B%5B6%5D%5B%2A%5Ba%5D%5Bx%5D%5D%5D%5B%5B2%5D%5Bb%5D%5D%5D)
Il punto (-1|3) porta all'equazione :
![f(-1)=3](glbaumschreiben.php?gle=%3D%5B%5Bf%5D%5B%28+%29%5B-1%5D%5D%5D%5B3%5D)
![1*a*-1^3+1*b*-1^2+1*c*-1+1*d=3](glbaumschreiben.php?gle=%3D%5B%2B%5B%2A%5Ba%5D%5B%5E%5B%28+%29%5B-1%5D%5D%5B3%5D%5D%5D%5B%2B%5B%2A%5Bb%5D%5B%5E%5B%28+%29%5B-1%5D%5D%5B2%5D%5D%5D%5B%2B%5B%2A%5Bc%5D%5B%28+%29%5B-1%5D%5D%5D%5Bd%5D%5D%5D%5D%5B3%5D) semplificato : -1a+1b-1c+1d=3
Il punto (0|2) porta all'equazione :
![f(0)=2](glbaumschreiben.php?gle=%3D%5B%5Bf%5D%5B%28+%29%5B0%5D%5D%5D%5B2%5D)
![1*a*0^3+1*b*0^2+1*c*0+1*d=2](glbaumschreiben.php?gle=%3D%5B%2B%5B%2A%5Ba%5D%5B%5E%5B0%5D%5B3%5D%5D%5D%5B%2B%5B%2A%5Bb%5D%5B%5E%5B0%5D%5B2%5D%5D%5D%5B%2B%5B%2A%5Bc%5D%5B0%5D%5D%5Bd%5D%5D%5D%5D%5B2%5D) semplificato : 0a+0b+0c+1d=2
Il punto (1|1) porta all'equazione :
![f(1)=1](glbaumschreiben.php?gle=%3D%5B%5Bf%5D%5B%28+%29%5B1%5D%5D%5D%5B1%5D)
![1*a*1^3+1*b*1^2+1*c*1+1*d=1](glbaumschreiben.php?gle=%3D%5B%2B%5B%2A%5Ba%5D%5B%5E%5B1%5D%5B3%5D%5D%5D%5B%2B%5B%2A%5Bb%5D%5B%5E%5B1%5D%5B2%5D%5D%5D%5B%2B%5B%2A%5Bc%5D%5B1%5D%5D%5Bd%5D%5D%5D%5D%5B1%5D) semplificato : 1a+1b+1c+1d=1
Il punto (2|4) porta all'equazione :
![f(2)=4](glbaumschreiben.php?gle=%3D%5B%5Bf%5D%5B%28+%29%5B2%5D%5D%5D%5B4%5D)
![1*a*2^3+1*b*2^2+1*c*2+1*d=4](glbaumschreiben.php?gle=%3D%5B%2B%5B%2A%5Ba%5D%5B%5E%5B2%5D%5B3%5D%5D%5D%5B%2B%5B%2A%5Bb%5D%5B%5E%5B2%5D%5B2%5D%5D%5D%5B%2B%5B%2A%5Bc%5D%5B2%5D%5D%5Bd%5D%5D%5D%5D%5B4%5D) semplificato : 8a+4b+2c+1d=4
In totale si ottiene il seguente sistema di equazioni :
-1a | +b | -1c | +d | = | 3 | | | | d | = | 2 | a | +b | +c | +d | = | 1 | 8a | +4b | +2c | +d | = | 4 |
Il sistema di equazioni si risolve così:
-1a | +b | -1c | +d | = | 3 | | | | d | = | 2 | a | +b | +c | +d | = | 1 | 8a | +4b | +2c | +d | = | 4 |
| | -1a | +b | -1c | +d | = | 3 | | | | d | = | 2 | a | +b | +c | +d | = | 1 | | -4b | -6c | -7d | = | -4 |
| ( -8 volte l'equazione 3 è stata sommata all'equazione 4 )
| -1a | +b | -1c | +d | = | 3 | | | | d | = | 2 | | 2b | | +2d | = | 4 | | -4b | -6c | -7d | = | -4 |
| ( 1 volte l'equazione 1 è stata sommata all'equazione 3 )
| a | -1b | +c | -1d | = | -3 | | | | d | = | 2 | | 2b | | +2d | = | 4 | | -4b | -6c | -7d | = | -4 |
| ( L'equazione 1 è stata divisa per -1 ) | a | -1b | +c | -1d | = | -3 | | | | d | = | 2 | | 2b | | +2d | = | 4 | | | -6c | -3d | = | 4 |
| ( 2 volte l'equazione 3 è stata sommata all'equazione 4 )
| a | -1b | +c | -1d | = | -3 | | 2b | | +2d | = | 4 | | | | d | = | 2 | | | -6c | -3d | = | 4 |
| ( l'equazione 3 è stata scambiata con l'equazione 2 )
| a | -1b | +c | -1d | = | -3 | | b | | +d | = | 2 | | | | d | = | 2 | | | -6c | -3d | = | 4 |
| ( L'equazione 2 è stata divisa per 2 ) | a | -1b | +c | -1d | = | -3 | | b | | +d | = | 2 | | | -6c | -3d | = | 4 | | | | d | = | 2 |
| ( l'equazione 4 è stata scambiata con l'equazione 3 )
| a | -1b | +c | -1d | = | -3 | | b | | +d | = | 2 | | | c | +0,5d | = | -0,667 | | | | d | = | 2 |
| ( L'equazione 3 è stata divisa per -6 ) |
3 ° equazione: | | Si sostituiscono le variabili già calcolate: | | Si risolve per c : | c = -1,667 |
2 ° equazione: | | Si sostituiscono le variabili già calcolate: | | Si risolve per b : | b = 0 |
1 ° equazione: | | Si sostituiscono le variabili già calcolate: | a | -1⋅0 | +⋅(-1,667) | -1⋅2 | = | -3 |
| Si risolve per a : | a = 0,667 |
Sostituendo si vede che la funzione è uguale a ist.
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Ma come si trova una funzione dato un punto di flesso?
Poiché è data una condizione in più, cioè il punto di flesso, si ottengono più equazioni: la prima è l'appartenenza del punto all'equazione della funzione, la seconda è l'appartenenza del punto alla derivata prima, che deve dare
![0](glbaumschreiben.php?gle=0)
. Qui vediamo un esempio di funzione di terzo grado che ha un punto di flesso in (1|3):
Stiamo cercando una funzione del tipo: funzione di grado 3 zero in 2 zero in 4 punto di flesso obliquo in (1|3)
Mathepower ha trovato la seguente funzione:
![1*f(x)=1*c*x+1*d](glbaumschreiben.php?gle=%3D%5B%5Bf%5D%5B%28+%29%5Bx%5D%5D%5D%5B%2B%5B%2A%5Bc%5D%5Bx%5D%5D%5Bd%5D%5D) Qui vedi il grafico della tua funzione.
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- Zeri
- Intersezione con l'asse y in (0|0)
- massimi/minimi
- Punti di flesso obliqui
Mathepower ha così calcolato:
![f(x)=1*a*x^3+1*b*x^2+1*c*x+1*d](glbaumschreiben.php?gle=%3D%5B%5Bf%5D%5B%28+%29%5Bx%5D%5D%5D%5B%2B%5B%2A%5Ba%5D%5B%5E%5Bx%5D%5B3%5D%5D%5D%5B%2B%5B%2A%5Bb%5D%5B%5E%5Bx%5D%5B2%5D%5D%5D%5B%2B%5B%2A%5Bc%5D%5Bx%5D%5D%5Bd%5D%5D%5D%5D)
![f'(x)=3*a*x^2+2*b*x+1*c](glbaumschreiben.php?gle=%3D%5B%5Bf%5D%5B%5B%27%5D%5B%28+%29%5Bx%5D%5D%5D%5D%5B%2B%5B%5B3%5D%5B%2A%5Ba%5D%5B%5E%5Bx%5D%5B2%5D%5D%5D%5D%5B%2B%5B%5B2%5D%5B%2A%5Bb%5D%5Bx%5D%5D%5D%5Bc%5D%5D%5D)
![f''(x)=6*a*x+2*b](glbaumschreiben.php?gle=%3D%5B%5Bf%5D%5B%5B%27%5D%5B%5B%27%5D%5B%28+%29%5Bx%5D%5D%5D%5D%5D%5B%2B%5B%5B6%5D%5B%2A%5Ba%5D%5Bx%5D%5D%5D%5B%5B2%5D%5Bb%5D%5D%5D)
Il punto (1|3) porta all'equazione :
![f(1)=3](glbaumschreiben.php?gle=%3D%5B%5Bf%5D%5B%28+%29%5B1%5D%5D%5D%5B3%5D)
![1*a*1^3+1*b*1^2+1*c*1+1*d=3](glbaumschreiben.php?gle=%3D%5B%2B%5B%2A%5Ba%5D%5B%5E%5B1%5D%5B3%5D%5D%5D%5B%2B%5B%2A%5Bb%5D%5B%5E%5B1%5D%5B2%5D%5D%5D%5B%2B%5B%2A%5Bc%5D%5B1%5D%5D%5Bd%5D%5D%5D%5D%5B3%5D) semplificato : 1a+1b+1c+1d=3
In totale si ottiene il seguente sistema di equazioni :
Il sistema di equazioni si risolve così:
1 ° equazione: | c+1d = 3 | d è scelto opportunamente | Si risolve per c : : | c = -1d +3 |
Sostituendo si vede che la funzione è uguale a ist.
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Como posso applicare questo al mio esercizio?
Inserisci pure il tuo esercizio qui sopra e Mathepower ti mostra come risolverlo, oppure inventalo semplicemente e osserva cosa fa Mathepower.