Einfach Aufgabe eingeben und lösen lassen

Mathepower rechnet mit dieser Funktion:
| Wende die höhere binomische Formel(a+b)^3=a^3+3*a^2*b^1+3*a^1*b^2+b^3 an mit a=1*x und b=-6
= 2*(x^3+-18*x^2+108*x+-6^3)| Rechne -6 hoch 3 aus.
=2*(x^3+-18*x^2+108*x+-216)| Multipliziere 2 und (1*x^3+-18*x^2+108*x+-216) aus.
=2*x^3+-36*x^2+216*x+-432
Hier siehst du den Graphen deiner Funktion.
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  • Nullstellen bei 6
  • y-Achsenabschnitt bei (0|-432)
  • Hochpunkte, Tiefpunkte
  • Wendepunkte bei (6|0)
Mathepower hat wie folgt gerechnet:

Nullstellen:
Nullstellen gesucht von 2*x^3+-36*x^2+216*x+-432
| +432
2*x^3+-36*x^2+216*x=432| Bringe 432 negativ auf die andere Seite.
2*x^3+-36*x^2+216*x+-432=0
Nullstellen sind also: {6}

Symmetrie:
f(x)=2*(x+-6)^3 ist weder achsensymmetrisch zur y-Achse noch punktsymmetrisch zum Ursprung

y-Achsenabschnitt: 0 in die Funktion einsetzen
Wert 0 in f(x) einsetzen:
f(0)=2*(0+-6)^3=-432
Also: y-Achsenabschnitt bei (0|-432)

Ableiten der Funktion f(x)=2*(x+-6)^3
2*x^3+-36*x^2+216*x+-432 ableiten:
( Ableitung von 2*x^3 )  +  ( Ableitung von -36*x^2 )  +  ( Ableitung von 216*x )  +  ( Ableitung von -432 )
2*3*x^2  +  -36*2*x  +  216  +  0
Die Ableitung von 2*x^3+-36*x^2+216*x+-432 ist also 2*3*x^2+-36*2*x+216+0 .
Ableitung vereinfachen:
| Multipliziere 2 und 3
= 2*3*x^2+-36*2*x+216| Multipliziere -36 und 2
= 6*x^2+-36*2*x+216
Also lautet die erste Ableitung: f'(x)=6*x^2+-72*x+216

Zweite Ableitung, also Ableitung der Funktion f'(x)=6*x^2+-72*x+216:
6*x^2+-72*x+216 ableiten:
( Ableitung von 6*x^2 )  +  ( Ableitung von -72*x )  +  ( Ableitung von 216 )
6*2*x  +  -72  +  0
Die Ableitung von 6*x^2+-72*x+216 ist also 6*2*x+-72+0 .
Ableitung vereinfachen:
| Multipliziere 6 und 2
= 6*2*x+-72
Also lautet die zweite Ableitung: f''(x)=12*x+-72

Dritte Ableitung, also Ableitung der Funktion f''(x)=12*x+-72:
12*x+-72 ableiten:
( Ableitung von 12*x )  +  ( Ableitung von -72 )
12  +  0
Die Ableitung von 12*x+-72 ist also 12+0 .
Also lautet die dritte Ableitung: f'''(x)=12

Extrempunkte gesucht.
Notwendiges Kriterium: Nullstellen der ersten Ableitung finden.
Nullstellen gesucht von 6*x^2+-72*x+216
| -216
6*x^2+-72*x=-216| :6
1*x^2+-12*x=-36| quadratische Ergänzung: ergänze auf beiden Seiten (-6)^2
1*x^2+-12*x+(-6)^2=-6^2+-36| Potenziere -6 mit 2
1*x^2+-12*x+(-6)^2=36+-36| addiere 36 und -36
1*x^2+-12*x+(-6)^2=36+-36| Fasse die rechte Seite mit Hilfe der binomischen Formel zusammen.
1*(1*x+(-6))^2=0| Auf beiden Seiten Quadratwurzel ziehen.
1*x+(-6)=1*0^0.5
1*x+-6=0^0.5| Ziehe die Wurzel aus 0
1*x+-6=0| +6
1*x=6
mögliche Extremstellen bei {6}
Nullstellen der ersten Ableitung in zweite einsetzen:
Wert 6 in f''(x) einsetzen:
f''(6)=12*6+-72=0
Da die zweite Ableitung ebenfalls Null ist, hilft hier nur das Vorzeichenwechsel-Kriterium.
Vorzeichenwechsel-Kriterium: Ist bei 6 ein Extrempunkt?
Setze 5 und 7 in die erste Ableitung ein.
Wert 5 in f'(x) einsetzen:
f'(5)=6*5^2+-72*5+216=6
Wert 7 in f'(x) einsetzen:
f'(7)=6*7^2+-72*7+216=6
kein Vorzeichenwechsel, also liegt bei bei 6 ein Sattelpunkt vor.
Wert 6 in f(x) einsetzen:
f(6)=2*(6+-6)^3=0
Sattelpunkt (6|0)

Wendepunkte gesucht.
Notwendiges Kriterium: Nullstellen der zweiten Ableitung finden.
Nullstellen gesucht von 12*x+-72
| +72
12*x=72| : 12
1*x=6
mögliche Wendepunkte bei {6}
Nullstellen der zweite Ableitung in dritte einsetzen:
Da in der dritten Ableitung gar kein x mehr vorkommt, ergibt das Einsetzen 12.
12 ist größer als 0. Bei 6 ist also ein Wendepunkt rechts->links.
Wert 6 in f(x) einsetzen:
f(6)=2*(6+-6)^3=0
Wendepunkt (6|0)


Kurvendiskussion

Gib hier deine Funktion ein.
Eingabetipps: Gib als 3*x^2 ein,
als (x+1)/(x-2x^4) und
als 3/5.

Was ist eine Kurvendiskussion?

Bei einer Kurvendiskussion bestimmt man sämtliche charakteristischen Punkte einer Funktion, also Nullstellen, y-Achsenschnittpunkt, Hoch- und Tiefpunkte, Wendepunkt.

Wie bestimmt man diese Punkte?

Man bestimmt zuerst die erste, zweite und dritte Ableitung der Funktion. Dann setzt man die Funktion sowie diese Ableitung gleich Null: Nullstellen sind Lösungen der Gleichung f_f(x)=0. Extrempunkte können nur an Nullstellen der Ableitungsfunktion sein, also muss man die Gleichung f_f'(x)=0 lösen, um mögliche Extrempunkte zu finden. (ob an einer Nullstelle der Ableitung wirklich ein Extrempunkt ist, kann man mit dem Vorzeichenwechselkriterium testen.) An einem Wendepunkt muss die zweite Ableitung gleich 0 sein, also ist, um einen Wendepunkt zu finden, die Gleichung f_f''(x)=0 zu lösen.

Wieso werden Kurvendiskussionen in der Schule nicht mehr so viel geübt?

Eigentlich sind Kurvendiskussionen ein wenig sinnlos: Man rechnet stur nach Verfahren alle möglichen Punkte eines Funktionsgraphen aus, ohne darüber nachzudenken, was diese anschaulich bedeuten. Deswegen werden heutzutage Aufgaben immer wichtiger, in denen man nicht nur stur alle möglichen Punkte ausrechnet, sondern auch mal überlegt, was diese Punkte in Anwendungskontexten bedeuten.

Kann ich mal ein Beispiel sehen?

Ja, schauen wir uns mal die Kurvendiskussion der Funktion f_f(x)=x^3-x an.


Mathepower rechnet mit dieser Funktion:
Hier siehst du den Graphen deiner Funktion.
Dein Browser unterstützt den HTML-Canvas-Tag nicht. Hol dir einen neuen. :P
  • Nullstellen bei -1; 0; 1
  • y-Achsenabschnitt bei (0|0)
  • Hochpunkte, Tiefpunkte bei (-0.577|0.385); (0.577|-0.385)
  • Wendepunkte bei (0|0)
Mathepower hat wie folgt gerechnet:

Nullstellen:
Nullstellen gesucht von x^3+-1*x
| Klammere 1*x aus.
1*(1*x^2+-1)*x=0
(1*x^2+-1)=0| Produkt Null. Also ist entweder der Faktor (1*x^2+-1) gleich Null...
1*x^2+-1=0| +1
1*x^2=1| Auf beiden Seiten Quadratwurzel ziehen.
x=+-*1^0.5
x_1=1^0.5| Ziehe die Wurzel aus 1
1*x_1=1
x_2=-1*1^0.5| Ziehe die Wurzel aus 1
1*x_2=-1
x=0| ... oder der Faktor x ist gleich Null
x=0
Nullstellen sind also: {-1;0;1}

Symmetrie:
f(x)=x^3+-1*x ist punktsymmetrisch zum Ursprung.

y-Achsenabschnitt: 0 in die Funktion einsetzen
Wert 0 in f(x) einsetzen:
f(0)=0^3+-1*0=0
Also: y-Achsenabschnitt bei (0|0)

Ableiten der Funktion f(x)=x^3+-1*x
1*x^3+-1*x ableiten:
( Ableitung von 1*x^3 )  +  ( Ableitung von -1*x )
3*x^2  +  -1
Die Ableitung von 1*x^3+-1*x ist also 3*x^2+-1 .
Also lautet die erste Ableitung: f'(x)=3*x^2+-1

Zweite Ableitung, also Ableitung der Funktion f'(x)=3*x^2+-1:
3*x^2+-1 ableiten:
( Ableitung von 3*x^2 )  +  ( Ableitung von -1 )
3*2*x  +  0
Die Ableitung von 3*x^2+-1 ist also 3*2*x+0 .
Ableitung vereinfachen:
| Multipliziere 3 und 2
= 3*2*x
Also lautet die zweite Ableitung: f''(x)=6*x

Dritte Ableitung, also Ableitung der Funktion f''(x)=6*x:
Ableitung von 6*x ist 6
Also lautet die dritte Ableitung: f'''(x)=6

Extrempunkte gesucht.
Notwendiges Kriterium: Nullstellen der ersten Ableitung finden.
Nullstellen gesucht von 3*x^2+-1
| +1
3*x^2=1| : 3
1*x^2=0.333| Auf beiden Seiten Quadratwurzel ziehen.
x=+-*0.333^0.5
x_1=0.333^0.5| Ziehe die Wurzel aus 0.333
1*x_1=0.577
x_2=-1*0.333^0.5| Ziehe die Wurzel aus 0.333
1*x_2=-0.577
mögliche Extremstellen bei {-0.577;0.577}
Nullstellen der ersten Ableitung in zweite einsetzen:
Wert -0.577 in f''(x) einsetzen:
f''(-0.577)=6*-0.577=-3.464
-3.464 ist kleiner als 0. Bei -0.577 wird also ein Maximum angenommen.
Wert -0.577 in f(x) einsetzen:
f(-0.577)=-0.577^3+-1*-0.577=0.385
Hochpunkt (-0.577|0.385)
Wert 0.577 in f''(x) einsetzen:
f''(0.577)=6*0.577=3.464
3.464 ist größer als 0. Bei 0.577 wird also ein Minimum angenommen.
Wert 0.577 in f(x) einsetzen:
f(0.577)=0.577^3+-1*0.577=-0.385
Tiefpunkt (0.577|-0.385)

Wendepunkte gesucht.
Notwendiges Kriterium: Nullstellen der zweiten Ableitung finden.
Nullstellen gesucht von 6*x
| : 6
1*x=0
mögliche Wendepunkte bei {0}
Nullstellen der zweite Ableitung in dritte einsetzen:
Da in der dritten Ableitung gar kein x mehr vorkommt, ergibt das Einsetzen 6.
6 ist größer als 0. Bei 0 ist also ein Wendepunkt rechts->links.
Wert 0 in f(x) einsetzen:
f(0)=0^3+-1*0=0
Wendepunkt (0|0)